第三次作业

5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

由题可知：

p(a₁)=0.2 ,p(a₂)=0.3  ,p(a₃)=0.5

我们可以将u⁽⁰⁾初始化为1，将l⁽⁰⁾初始化为0。

可得：

u⁽¹⁾ =0+(1-0)F_x(1)=0.2 

l⁽¹⁾ =0+(1-0)F_x(0)=0

所以a₁a₁的标签所在的区间为[0,0.2);

可得：

l⁽²⁾ =0+(0.2-0)F_x(0)=0

u⁽²⁾ =0+(0.2-0)F_x(1)=0.04

所以序列a₁a₁的标签所在的区间为[0,0.04);

可得：

l⁽³⁾ =0+(0.04-0)F_x(2)=0.02

u⁽³⁾ =0+(0.04-0)F_x(3)=0.04

所以序列a₁a₁a₃的标签所在的区间为[0.02,0.04);

可得：

l⁽⁴⁾ =0.02+(0.04-0.02)F_x(1)=0.024

u⁽⁴⁾ =0.02+(0.04-0.02)F_x(2)=0.03

所以序列a₁a₁a₃a₂的标签所在的区间为[0.024,0.03);

可得：

l⁽⁵⁾ =0.024+(0.03-0.024)F_x(2)=0.027

u⁽⁵⁾ =0.024+(0.03-0.024)F_x(3)=0.03

所以序列a₁a₁a₃a₂a₃的标签所在的区间为[0.027,0.03);

可得：

l⁽⁶⁾ =0.027+(0.03-0.027)F_x(0)=0.027

u⁽⁶⁾ =0.027+(0.03-0.027)F_x(1)=0.0276

所以生成序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁的实值标签如下：

T_x(a₁a₁a₃a₂a₃a₁)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

映射：a₁<=>1，a₂<=>2，a₃<=>3

cdf：F_x(0) =0， F_x(1) =0.2，F_x(2) =P(a₁)+P(a₂)=0.5，F_x(3) =P(a₁)+P(a₂)+P(a₃)=1.0

上界：U⁽⁰⁾=1,   下界：L⁽⁰⁾=0

已知公式：U⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n)

              L⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n-1)

当x₁=3时，则区间为[0.5,1)，标签为0.63215699在区间为[0.5,1)内，所以满足条件；

  u⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(x₂)=0.5+(1-0.5)*F_x(x₂)=0.5+0.5F_x(x₂)

   l⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(x₂-1)=0.5+(1-0.5)*F_x(x₂-1)=0.5+0.5F_x(x₂-1)

当x₂=2时，则区间为[0.6，0.75)，标签为0.63215699在区间为[0.6，0.75)内，所以满足条件；

  u⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(x₃)=0.6+(0.75-0.6)*F_x(x₂)=0.6+0.15F_x(x₃)

   l⁽³⁾=l⁽³²+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(x₃-1)=0.6+(0.75-0.6)*F_x(x₂-1)=0.6+0.15F_x(x₃-1)

当x₃=2时，则区间为[0.63,0.675)，标签为0.63215699在区间为[0.63,0.675)内，所以满足条件；

   u⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(x₄)=0.63+(0.675-0.63)*F_x(x₄)=0.63+0.045*F_x(x₄)

     l⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(x₄-1)=0.63+(0.675-0.63)*F_x(x₄-1)=0.63+0.045*F_x(x₄-1）

当x₄=1时，则区间为[0.63,0.639)，标签为0.63215699在区间为[0.63,0.639)内，所以满足条件；

    u⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(x₅)=0.63+(0.639-0.63)*F_x(x₅)=0.63+0.009*F_x(x₅)

     l⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(x₅-1)=0.63+(0.639-0.63)*F_x(x₅-1)=0.63+0.009*F_x(x₅-1）

当x₅=2时，则区间为[0.6318,0.6345)，标签为0.63215699在区间为[0.6318,0.6345)内，所以满足条件；

      u⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(x₆)=0.6318+(0.6345-0.6318)*F_x(x₆)=0.6318+0.0027*F_x(x₆)

       l⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(x₆-1)=0.6318+(0.6345-0.6318)*F_x(x₆-1)=0.6318+0.0027*F_x(x₆-1)

当x₆=1时，则区间为[0.6318,0.63234)，标签为0.63215699在区间为[0.6318,0.63234)内，所以满足条件；

     u⁽⁷⁾=l⁽⁶⁾+(u⁽⁶⁾-l⁽⁶⁾)*F_x(x₇)=0.6318+(0.63234-0.6318)*F_x(x₇)=0.6318+0.00054*F_x(x₇)

       l⁽⁷⁾=l⁽⁶⁾+(u⁽⁶⁾-l⁽⁶⁾)*F_x(x₇-1)=0.6318+(0.63234-0.6318)*F_x(x₇-1)=0.6318+0.00054*F_x(x₇-1)

当x₇=3时，则区间为[0.63207,0.63234)，标签为0.63215699在区间为[0.63207,0.63234)内，所以满足条件；

     u⁽⁸⁾=l⁽⁷⁾+(u⁽⁷⁾-l⁽⁷⁾)*F_x(x₈)=0.63207+(0.63234-0.63207)*F_x(x₈)=0.63207+0.00027*F_x(x₈)

       l⁽⁸⁾=l⁽⁷⁾+(u⁽⁷⁾-l⁽⁷⁾)*F_x(x₈-1)=0.63207+(0.63234-0.63207)*F_x(x₈-1)=0.63207+0.00027*F_x(x₈-1)

当x₈=2时，则区间为[0.632124,0.632205)，标签为0.63215699在区间为[0.632124,0.632205)内，所以满足条件；

      u⁽⁹⁾=l⁽⁸⁾+(u⁽⁸⁾-l⁽⁸⁾)*F_x(x₉)=0.632124+(0.632205-0.632124)*F_x(x₉)=0.632124+（8.1e-5）*F_x(x₉)

       l⁽⁹⁾=l⁽⁸⁾+(u⁽⁸⁾-l⁽⁸⁾)*F_x(x₉-1)=0.632124+(0.632205-0.632124)*F_x(x₉-1)=0.632124+（8.1e-5）*F_x(x₉-1)

当x₉=2时，则区间为[0.6321402,0.6321645)，标签为0.63215699在区间为[0.6321402,0.6321645)内，所以满足条件；

      u⁽¹⁰⁾=l⁽⁹⁾+(u⁽⁹⁾-l⁽⁹⁾)*F_x(x₁₀)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)*F_x(x₁₀)=0.6321402+（2.43e-5）*F_x(x₁₀)

       l⁽¹⁰⁾=l⁽⁹⁾+(u⁽⁹⁾-l⁽⁹⁾)*F_x(x₁₀-1)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)*F_x(x₁₀-1)=0.6321402+（2.43e-5）*F_x(x₁₀-1)

当x₁₀=3时，则区间为[0.63215235,0.6321645)，标签为0.63215699在区间为[0.63215235,0.6321645)内，所以满足条件。

综上可得对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码结果为：3221213223