二分图匹配

　　今天上算法课的时候老师讲了图的匹配问题，想起来自己以前做ACM的时候学的二分图匹配，之前没有写博客的习惯，现在太忙，好多东西容易忘，还是记录下来比较好。

　　求二分图的最大匹配有两种方法，一种是构造一个“超级源点”，一个“超级汇点”，求最大流。还有一种就是匈牙利算法，其实匈牙利算法的本质也是找增广路，两种方法实际上是等价的。

　　那么，增广路是如何定义的呢？首先，增广路有奇数条边，例如A->B->C->D->E->F，那么A->B，C->D，E->F是未匹配边；B->C，D->E为匹配边。也就是说一条增广路上有奇数条未匹配边和偶数条匹配边。为什么叫它增光路呢，大家想想，在这条增广路上，我们将匹配边和非匹配边互换，这样会使的匹配边的数量+1（如下图所示）。好了，那么求最大匹配的问题就变成了找增广路的问题，dfs搜索即可。

知道了算法的主导思想之后，实现起来就非常容易了，找到一条增广路，res++即可。

bool dfs(int v){
    used[v] = true;

    for(int i = 0; i < G[v].size(); ++i){
        int u = G[v][i], w = match[u];
        //如果u是未匹配的节点，或者存在与u节点匹配的点w起始的增广路
        //怎我们找到了一条从v起始的增广路
        if(w < 0 || !used[w] && dfs(w)){
            match[v] = u;
            match[u] = v;
            return true;
        }
    }

    return false;
}

int bipartite_matching(){
    int res = 0;
    memset(match, -1, sizeof(match));

    //遍历所有节点，搜索增广路
    for(int v = 0; v < V; ++v){
        if(match[v] < 0){
            memset(used, 0, sizeof(used));
            //如果dfs返回true，说明搜索到 一条增广路，res++
            if(dfs(v)){
                res++;
            }
        }
    }

    return res;
}

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另一个值得关注的问题就是最小覆盖覆盖问题，学竞赛的同学们都知道一个重要的结论，那就是在二分图中，|最小顶点覆盖|=|最大匹配|。

为什么呢？

证明：

首先，比如我们找到了一个最大匹配，对于每一条匹配e的两个匹配点x和y。x和y中最多只有一个点连着费匹配边，否则（如下图所示），b->y->x->a就是一条增广路了，与图中不含增广路相矛盾。现在我们明白，对于每一条边，如果该边只有一端连着匹配点，则选择这个匹配点，如果两边都连着匹配点，则任意选一个点即可。但可能有人会想，会不会出现这种情况？（如下图所示），x连着非匹配点，所以我们必须选x，B连着非匹配边我们必须选择B，那么就没有点覆盖A-y了，我们仔细观察发现，显然不可能，因为图中这种情况就是一条增广路。

好了，我们用这种方法找到了一个覆盖点的可行解，那么怎么保证最小呢？很明显，这样选是最小的，因为我希望用更少的点去覆盖是不可能的，因为覆盖这几条匹配边就至少需要这么多点才能完成。