[LeetCode 338.] 比特位计数

LeetCode 338. 比特位计数

一道简单题，但是把位运算和DP结合起来，很有意思。

题目描述

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例 2:

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]

进阶:

• 给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为O(n)。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。

解题思路

思路一：n & (n-1)

看到题目的第一眼，会觉得眼熟，因为这不就是计算二进制位中1的个数的题目嘛！对于每一个数，计算的时候只需要每次利用 n &= (n-1) 消去最低位的1，重复操作直到n变成0，操作的次数就是1的个数。对于n个数，每一个都如此计算，时间开销基本可以看作 O(n)。

思路二：DP

思路一中，我们认为时间开销是 O(n) 是因为我们把每一个数字的计数都看作了 O(1) 开销，因为每个数字的计数次数上线就是int类型是数据宽度32。
这里题目让我们进一步优化时间复杂度，希望降低到每个数字只用一次位运算的时间，可能吗？
只有一个数字显然不行，但是连续数组的话是可以的，用DP即可！
对于数字n，考察其最低位，如果为0，则n中1的个数和 n/2 相同，否则需要再+1。

参考代码

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=338 lang=cpp
 *
 * [338] 比特位计数
 */

class Solution {
public:
/*
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> cnt(n+1, 0);
        for (int i=0; i<=n; i++) {
            int x = i;
            while (x) {
                cnt[i] ++;
                x &= (x-1);
            }
        }
        return cnt;
    } // AC, O(n*sizeof(integer))
*/
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> cnt(n+1, 0);
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            cnt[i] = (i & 1) + cnt[i >> 1];
        }
        return cnt;
    } // AC, O(n), DP
};
// @lc code=end