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  • 二分图中及匹配的基本概念与定理

    定义:设G是一个图。如果存在VG的一个划分X,Y,使得G的任何一条边的一个端点在X中,另一个端点在Y中,则称G为二分图,记作G=(X,Y,E)。如果G中X的每个顶点都与Y的每个顶点相邻,则称G为完全二分图

     

    二分图的匹配:给定一个二分图G,M为G边集的一个子集,如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是       一个匹配。

    最小顶点覆盖:在二分图中寻找一个尽量小的点集,使图中每一条边至少有一个点在该点集中。

    最小顶点覆盖 == 最大匹配。

      反证法证明:假设当前存在一条两个端点都不在最小顶点覆盖点集中,那么这么光芒四射的边定可以增大最大匹配边集,与最大匹配矛盾,所以得证。

    最小路径覆盖:在二分图中寻找一个尽量小的边集,使图中每一个点都是该边集中某条边的端点。

    最小路径覆盖 == 点数 - 最大匹配。

      证明:因为一条边最多可以包含两个顶点,所以我们选边的时候让这样的边尽量多,也就是说最大匹配的边集数目咯。剩下的点就只能一个边连上一个点到集合里啦。

    最大独立集:在N个点中选出来一个最大点集,使这个点集中的任意两点之间都没有边。

    最大独立集 == 顶点数 - 最大匹配。

      证明:因为去掉最大匹配两端的顶点去掉以后,剩下的点肯定是独立集。我们再从每个匹配里面挑选出来一个点加入到独立集中,也是不会破坏原有独立集的独立性的。

    增广路径的性质:
    (1)有奇数条边。
    (2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。
    (3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。(其实二分图的性质就决定了这一点,因为二分图同一边的点之间没有边相连,不要忘记哦。)
    (4)整条路径上没有重复的点。
    (5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。
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