超大01背包问题

超大背包问题：有n个重量和价值分别为w[i]和v[i]的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。其中，1 ≤ n ≤ 40， 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ W ≤ 10^15.

这个问题给人的第一感觉就是普通的01背包。不过，看完数据范围会发现，这次价值和重量都可以是非常大的数值，相比之下n比较小。使用DP求解背包为题的复杂度是O(nW)，因此不能用来解决这个问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他方法。

挑选物品的方案总共有2^n种，所以不能直接枚举，但是如果将物品分成两半再枚举的话，由于每部分最多只有20个，这是可行的。我们把前半部分中的挑选方法对应的重量和价值总和记为w1、v1，这样在后半部分寻找总重w2 ≤ W - w1时使v2最大的选取方法即可。

因此，我们要思考从枚举得到的（w2，v2）集合中高效寻找max{v2|w2 ≤ W'}的方法。首先，显然我们可以排除所有价值小重量大的状态；这一点可以按照w2、v2的字典序排序后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j]，要计算max{v2|w2 <= W'}的话，只要寻找满足w2[i] <= W'的最大的i就可以了。这可以用二分搜索完成，剩余的元素个数为M的话，一次搜索需要O(logM)的时间。因为M≤2^(n/2)，所以这个算法总的时间复杂度是O(n * 2^(n/2))，可以在实现内解决问题。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<vector>
using namespace std;
#define N 4005
#define PI 4*atan(1.0)
#define mod 1000000007
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
typedef long long LL;

struct node
{
    LL w, v;
    friend bool operator < (node p, node q)
    {
        if(p.w != q.w)
            return p.w < q.w;
        return p.v < q.v;
    }
}a[1<<20];

LL w[N], v[N], W;
int n;

int Find(int L, int R, LL num)
{
    int ans = L;
    while(L<=R)
    {
        int Mid = (L+R)/2;
        if(a[Mid].w < num)
        {
            ans = Mid;
            L = Mid+1;
        }
        else
            R = Mid-1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%d %I64d", &n, &W)!=EOF)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%I64d", &w[i]);
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%I64d", &v[i]);

        int half = n/2;

        for(int i=0; i<(1<<half); i++)
        {
            LL sw = 0, sv = 0;
            for(int j=0; j<half; j++)
            {
                if( (i>>j) & 1)/// i&(1<<j);
                {
                    sw += w[j];
                    sv += v[j];
                }
            }
            a[i].w = sw;
            a[i].v = sv;
        }
        sort(a, a+(1<<half));
        int m = 1;
        for(int i=1; i<(1<<half); i++)///去重；
        {
            if(a[m-1].v < a[i].v)
                a[m++] = a[i];
        }
        LL ans = 0;
        for(int i=0; i<(1<<(n-n/2)); i++)
        {
            LL sw = 0, sv = 0;
            for(int j=0; j<(n-n/2); j++)
            {
                if( (i>>j) & 1)/// i&(1<<j);
                {
                    sw += w[j+half];
                    sv += v[j+half];
                }
            }
            int Index = Find(0, m-1, W-sw);///找到价值最大的容量不超过W-sw；
            ans = max(ans, sv+a[Index].v);
        }
        printf("%I64d
", ans);
    }
    return 0;
}
/*
Input:
5
1 3 2
2 4 2
Output:
*/