小猴打架(luogu4430)(数论+生成树计数)

一开始森林里面有(N)只互不相识的小猴子，它们经常打架，但打架的双方都必须不是好朋友。每次打完架后，打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识，成为好朋友。经过(N-1)次打架之后，整个森林的小猴都会成为好朋友。 现在的问题是，总共有多少种不同的打架过程。 比如当(N=3)时，就({1-2,1-3}{1-2,2-3}{1-3,1-2}{1-3,2-3}{2-3,1-2}{2-3,1-3})六种不同的打架过程。

Input

一个整数N。

Output

一行，方案数(mod 9999991)。

Sample Input

4

Sample Output

96

Hint

50%的数据(N<=10^3)。 100%的数据(N<=10^6)。

题意：

中文题面，不解释

题解：

用矩阵树定理
先得一邻接矩阵((1))

[left| egin{matrix} 0 & 1 & 1 & cdots & 1\ 1 & 0 & 1 & cdots & 1\ 1 & 1 & 0 & cdots & 1\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ 1 & 1 & 1 & cdots & 0 end{matrix} ight| ag{1} ]

再得一度数矩阵((2))

[left| egin{matrix} N-1 & 0 & 0 & cdots & 0\ 0 & N-1 & 0 & cdots & 0\ 0 & 0 & N-1 & cdots & 0\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ 0 & 0 & 0 & cdots & N-1 end{matrix} ight| ag{2} ]

({2}-{1})得基尔霍夫矩阵((3))

[left| egin{matrix} N-1 & -1 & -1 & cdots & -1\ -1 & N-1 & -1 & cdots & -1\ -1 & -1 & N-1 & cdots & -1\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ -1 & -1 & -1 & cdots & N-1 end{matrix} ight| ag{3} ]

取前(N-1)行(N-1)列高斯消元，得((4))

[left| egin{matrix} 1 & 1 & 1 & cdots & 1\ 0 & N & 0 & cdots & 0\ 0 & 0 & N & cdots & 0\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ 0 & 0 & 0 & cdots & N end{matrix} ight| ag{4} ]

然后求一下行列式就是答案了：
(N^{N-2})

额，好吧还需要乘一个排列，因为打架的顺序可以不同
所以答案其实是：
(N^{N-2}(N-1)!)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll p=9999991;
ll a,ans=1;
int main(){
    cin>>a;
    for(ll i=1;i<=a-2;++i){
        ans*=a;
        ans%=p;
    }
    for(ll i=1;i<=a-1;++i){
        ans*=i;
        ans%=p;
    }
    cout<<ans<<endl;
}