时间复杂度

定义：时间复杂度是一个函数，它定性描述了该算法的运行时间。用 O 表示，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

计算方法：

1.一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得T(n)/f(n)的极限值（当n趋近于无穷大时）为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2.在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出 T(n) 的数量级（它的同数量级有以下：1，log₂n，n，n log₂n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出后，f(n) = 该数量级，若 T(n)/f(n) 求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n) = O(f(n))。

例：

for(i=1; i<=n; ++i)
{
    for(j=1; j<=n; ++j)
    {
        c[i][j] = 0;//该步骤属于基本操作执行次数：n的平方次
        for(k=1; k<=n; ++k)
            c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];//该步骤属于基本操作执行次数：n的三次方次
    }
} 　　

则有 

 

，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级

则有

  

，然后根据 T(n)/f(n) 求极限可得到常数c

则该算法的时间复杂度：T(n) = O(n^3) 注：n^3即是n的3次方。

 

3.

在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O(n)，二重则为O(n^2)，依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。

 

常见场景时间复杂度：

1.

void test(int n) {
        for(int i=0;i<n;i++) {
            System.out.println("111");
            System.out.println("222");
            System.out.println("333");
        }
    }

T(n) = 3n    时间复杂度为:O(n)

2.

void test1(int n) {
        for(int i = 0;i < n;i++) {
            for(int j = 0;j < n;j *= 2) {
                System.out.println("111");
            }
        }
    }

T(n) = nlogn  时间复杂度为：O(nlogn)

3.

void test3(int n) {
        for(int i = 1;i < n;i *= 2) {
            System.out.println("111");
            System.out.println("222");
            System.out.println("333");
            System.out.println("444");
            System.out.println("555");
        }
    }

T(n) = 5logn   时间复杂度为:O(logn) 

4.

void test4(int n) {
        System.out.println("111");
        System.out.println("222");
        System.out.println("333");
    }

T(n) = 3n  时间复杂度为：O(1) 　　

5.

void test5(int n) {
        for(int i = 0;i < n;i++) {
            for(int j = 0;j < i; j++) {
                System.out.println("111");
            }
            System.out.println("222");
        }
    }

T(n) = 0.5n^2 + 0.5n    时间复杂度：O(n^2)