矩阵行列式计算
二阶行列式计算
三阶行列式计算
形式化表述为：(红线为加数，蓝线为减数)
矩阵的逆的计算
1. 待定系数法
令矩阵 (A = left( egin{matrix} 1 & 2 \ -1 & -3 end{matrix} ight))，令所要求解的逆矩阵为(A^{-1} = left( egin{matrix} a & b \ c & d end{matrix} ight))。则有(A*A^{-1} = I)，可得到方程组
从而解的(a = 3, b = 2, c = -1, d = -1)，即
2. 初等变换求逆矩阵
同样，令矩阵 (A = left( egin{matrix} 1 & 2 \ -1 & -3 end{matrix} ight))，写出它的增广矩阵 (A|E)，即矩阵(A)右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。
对其进行初等变换，使原来(A)处的矩阵变换成为单位矩阵，则原单位矩阵处就变换成了(A^{-1})，变换后的矩阵为：
常用的梯度公式
Taylor展开公式
设(f:R^n
ightarrow R)二阶可导，在(x^*)的领域内
一阶Taylor展开式为
二阶Taylor展开式为
凸集
若集合(D)中任意两点的连线段都属于(D)，则称(D)为凸集。
两点(x^1, x^2)连线段上任一点可表示为(x=ax^1+(1-a)x^2,ain[0,1])
设(A,Bsubseteq R^n)是凸集，则(Aigcap B, A + B, A - B)也是凸集。其中(A + B := {a+b:ain A, bin B}), (A-B:={a-b:ain A, b in B})，注意(A igcup B)不一定是凸集。
(D)是凸集(Longleftrightarrow D)中任意有限多个点的凸组合也属于(D)。
凸函数判定定理
设(D subseteq R^n)为非空开凸集，函数(f:D
ightarrow R)在(D)上二次可微，则
(i) (f)在(D)上为凸函数 (Longleftrightarrow forall xin D,
abla^2f(x))半正定
(ii) 若(forall x in D,
abla^2 f(x))正定，则(f)在(D)上为严格凸函数
对于凸规划
(
min f(x)
)
(
s.t. g_i(x) leq 0, i=1,2,L,m
)
若 (overline{x} in D, f in C^1)，则(overline{x})为上式的最优解的充要条件为(forall x in D)，有
精确一维搜索
成功失败法
步骤1：选取初始点(xin R),初始步长(h gt 0)及精度(epsilon gt 0)，(varphi_1 = f(x))
步骤2：计算 (varphi_2 = f(x+h))
步骤3：若(varphi_2 < varphi_1)，搜索成功, 转步骤4；否则，搜索失败，转步骤5。
步骤4：令(x:= x + h), (varphi_1 := varphi_2, h := 2h),转步骤2。
步骤5：判断(|h| < epsilon)？,若(|h| < epsilon)停止迭代，(x^*=x)；否则令(h = frac{-h}{4})转步骤2。
0.618法
使用四个点来依次缩短区间，当区间长度充分小时，可将区间中点取做极小点的近似点。所选取的四个点分别为(a,b,x_1,x_2)，其中，(a,b)分别为区间的下界和上界。(x_1,x_2)的计算符合0.618准则，如下：
二分法
因为我们假定函数在所给区间为凸函数，因此区间范围内必存在一点使得其导数为0，该点即为极小点。所以可以每次计算区间中点的导数值，以此来缩小区间，当区间足够小时，使区间的中点为局部极小点。
步骤1：计算 (x_0 = frac{a+b}{2})
步骤2：若(f^{'}(x_0) lt 0)，令(a = x_0)，转步骤3；
若(f^{'}(x_0) gt 0)，令(b = x_0)，转步骤3；
若(f^{'}(x_0) = 0)，停止，(x^* = x_0)；
步骤3：若(|b-a| lt epsilon)，则(x^* = frac{a+b}{2})，停止，否则，转步骤1.
牛顿法
步骤1：给定初始点(x_1,epsilon gt 0)，令(k=1)
步骤2：计算(x_{k+1} = x_{k} - frac{f^{'}(x_k)}{f^{''}(x_k)})
步骤3：若(|f^{'}(x_{k+1})| lt epsilon)，停止，(x^* approx x_{k+1})
插值法
使用成功失败法寻找“高，低，高”三点，分别作为区间和区间内的一点，然后通过这三个点构造二（三、四）次方程，得到该方法的极值点作为第四个点，然后通过这四个点的函数值来进一步缩短区间。
步骤1：(用成功失败法) 寻找“高-低-高”三点：即三点满足
步骤2：确定二次插值多项式(P(x) =a_0+a_1 x + a_2 x^2)，求出(P)的极小点(overline{x})(因(P(x_1) gt P(x_2) lt P(x_3)))，故(a_2 gt 0)，(overline{x} in [x_1, x_3])
步骤3：若(|x_2 - overline{x}| lt epsilon)，则迭代结束，取(x^* = overline{x})，否则在点(x_1,x_2,x_3,overline{x})中，选取使(f)最小的点作为新的(x_2)，并使新的(x_1,x_3)各是新的(x_2)近旁的左右两点，转步骤2，继续迭代，直到满足终止条件。
最速下降法
步骤1：选定初始点(x,epsilon gt 0)，并令(k=1)。
步骤2：若(||
abla f(x^k)|| leq epsilon)，得到近似驻点(x^k)，否则转步骤3
步骤3：令(d^k = -
abla f(x^k))
步骤4：由精确一维搜索确定最佳步长(lambda_k=arg min f(x^k+lambda d^k))。令(x^{k+1}=x^k+lambda _kd^k, k:=k+1)，转步骤2
Newton法
求函数(f)的极小点，给定误差极限(epsilon).
步骤1：选定初始点(x^1)，计算(f_1 = f(x^1),k=1)
步骤2：如果(||
abla f(x^k)|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点(x^k)，否则转步骤3
步骤3：计算搜索方向(d^k = -(
abla ^2f(x^k))^{-1}
abla f(x^k))
步骤4：令(x^{k+1} = x^k+d^k, k=k+1)，转步骤2
阻尼Newton法
将Newton法中的迭代公式进行替换，加入精确一维搜索(min f(x^k + lambda d^k))，求得最佳步长(lambda_k)，得到下一个迭代点(x^{k+1} = x^k+lambda_k d^k)
利用阻尼Newton法求n元正定二次函数的极小点，从任意初始点出发，一步迭代即可达到极小点。
FR共轭梯度法
步骤1：选定初始点(x^1)
步骤2：如果(||g_1|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点(x^1)，否则转步骤3
步骤3：取(p^1=-g_1,k=1)
步骤4：精确一维搜索找最佳步长(lambda_k)，令(x^{k+1} = x^k + lambda_kp^k)
步骤5：如果(||g_{k+1}|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点(x^{k+1})，否则转步骤6
步骤6：如果(k=n)，令(x^1=x^{k+1},p^1=-g_{k+1},k=1)，转步骤4；否则转步骤7
步骤7：计算(a_k=frac{||g_{k+1}||^2}{||g_k||^2},p^{k+1}=-g_{k+1}+a_kp^k,k=k+1)，转步骤4
变尺度法--DFP算法
步骤1：选定初始点(x^1)，初始矩阵(H_1=I_n),(epsilon gt 0)
步骤2：如果(||g_1|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点(x^1)，否则转步骤3
步骤3：取(P^1=-H_1g_1,k=1)
步骤4：精确一维搜索找最佳步长(lambda _k)，令(x^{k+1} = x^k + lambda_k p^k)
步骤5：如果(||g_{k+1}|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点(x^{k+1})，否则转步骤6
步骤6：如果(k=n)，令(x^1=x^{k+1},p^1=-g_{k+1},k=1)，转步骤4，否则转步骤7
步骤7：令(Delta x_k = x^{k+1} - x^k, Delta g_k = g_{k+1} - g_k, r_k=H_k Delta g_k)，计算：
和(p^{k+1}=-H_{k+1}g_{k+1})，令(k = k+1)，转步骤4
两阶段法首先需要向原变量等式中引入人工变量，且人工变量均大于等于0，然后使用单纯形方法求解使得人工变量之和最小的条件，之后将修改单纯形表，将人工变量删去，继续使用单纯形方法得到目标函数的最优解。值得注意的是，在选择进基变量时，选择检验数，即(sigma_j)大于0，且最大的一个。选择离基变量时，选择( heta)大于0且最小的一个。当值相等时，离基变量选择下标最大的，进基变量选择下表最小的。
大(M)法
在约束中引入人工变量(x_a)，同时修改目标函数，在原目标中加上惩罚项(Me^Tx_a)，其中(M)为充分大的正数。
对偶规划
对偶单纯形法
对偶单纯形法的基本思想: 从(P)的一个对偶可行的基本解出发，在保证对偶可行的条件下，逐步使原问题基本解的不可
行性消失（即x非负），直到获得原问题的一个基本可行解为止，而这个基本可行解就是原问题的最优解.
对偶单纯形方法与原单纯形方法主要的区别就是，先计算(overline{b})，找出其中小于0，且最小的一个作为离基变量，然后用(sigma_j)除以对应的行，得到参考值，选择参考值中大于0，且最小的一个作为进基变量。目标是使(overline{b})值均大于等于0.
K-T点计算，一阶最优性条件
满足以上两个条件中的任意一个即为K-T点。若要求K-T点，用下式，若要验证，用上式。其中，(g_i)为大于约束，(h_i)为等式约束。
外点罚函数法
构造罚函数：(min F(x,M_k)=f(x)+M_k p(x))。
其中(M_k)逐渐趋于无穷
优化函数为
则(p(x) = sum_{i=1}^{m}(minlbrace g_i(x),0 brace )^2+sum_{j=1}^l h_j^2(x))，可用(x)来表示(M)，然后让(M)趋于无穷，以此求得(x)。
内点罚函数法
构造罚函数：(F(x,r)=f(x)+rB(x)),只可用于不等书约束的条件，要求大于等于0
约坦狄克可行方向法
步骤1：给定初始可行点(x^0)，令(k=0)
步骤2：在点(x^k)处将(A)和(b)分解成(
A=left(
egin{matrix}
A_1 \ A_2
end{matrix}
ight)
)，(b=left(
egin{matrix}
b_1 \ b_2
end{matrix}
ight)
)，使得(A_1x^k, A_2x^kgt b_2)，计算(
abla f(x^k))。
步骤3：求解线性规划(
egin{matrix}
min(
abla f(x^k))^Td \
s.t. A_1d geq 0 \
Cd = 0\
|d_j| leq 1, forall j
end{matrix}
)得到最优解(d^k)
步骤4：若((
abla f(x^k))^Td^k = 0)，则算法结束，(x^k)是K-T点，否则转步骤5
步骤5：利用(*)式计算(lambda_{max})，求解一维搜索问题
得到极小点(lambda _k)，令(x^{k+1}=x^k+lambda _kd^k,k=k+1)，转步骤2.
(
lambda _{max}=left lbrace
egin{matrix}
minlbrace frac{overline{b_i}}{overline{d_i}}| overline{d_i} lt 0
brace if existoverline{d_i} lt 0 \
+infty if overline{d} geq 0
end{matrix}
ight.
) (*)