《算法》笔记 16

• 使用正则表达式描述模式
• 非确定有限状态自动机NFA
• 模拟NFA的运行
  • NFA的表示
  • 构造与正则表达式相对应的NFA
  • NFA的模拟与可达性

除了查找子字符串，在很多时候并不知道被查找模式的完整信息，这时就需要用到正则表达式了。正则表达式在子字符串查找、合法性校验、网络爬虫等方面有着非常广泛的应用。

使用正则表达式描述模式

正则表达式对模式的描述，基于几个基本操作。

• 连接操作，比如AB，表示由A和B连接而成的模式。
• 或操作，或操作可以在模式中指定多种可能的匹配，用"|"表示。
• 闭包操作，闭包操作可以把模式部分重复任意次数，用"*"表示。
• 括号，括号可以改变默认优先级的顺序。
• 在编程语言中使用的正则表达式还有很多其它语法，但都是基于这几种基本操作的。

非确定有限状态自动机

如何根据正则表达式所描述的模式来匹配文本呢？子字符串查找中使用的有序状态自动机DFA会根据文本中的字符改变自身的状态，但正则表达式匹配比子字符串查找更复杂。因为或操作的存在，自动机无法仅根据一个字符就判断出模式是否出现；再加上闭包的存在，自动机甚至无法知道需要检查多少字符才会匹配失败。为了克服这些困难，需要非确定有限状态自动机NFA。

根据Kleene定理，任意正则表达式都存在一个与之对应的非确定有限状态自动机，反之亦然。所以任意正则表达式都可以转换为一个非确定有限状态自动机，然后就可以模式NFA的运行轨迹来进行匹配了。

正则表达式((A*B|AC)D)所对应的NFA如下图：

NFA具有以下特点：

• 长度为M的正则表达式中的每个字符在所对应的NFA中都有且只有一个对应的状态。NFA的起始状态为0并含有一个虚拟的接受状态M；
• 字符表中的字符所对应的状态都有一条从它指出的边，这条边指向模式中的下一个字符所对应的状态（这种边为黑色）；
• 元字符"(" ")" "|" "*"所对应的状态至少含有一条指出的边（这种边为红色），这些边可能指向其它的任意状态；
• 有些状态有多条指出的边，但一个状态只能有一条指出的黑色边。

这里约定将所有的模式都包含在括号中，一次NFA中的第一个状态和最后一个状态都对应的是括号。

在检查文本与模式是否匹配时，NFA需要不断读取文本，直到NFA变为接受状态，或到达文本末尾。由于或操作和闭包操作的存在，NFA从一个状态转换到了一个状态的规则与DFA有所不同，在NFA中有两种转换方式：

• 匹配转换，即文本中的某个字符与模式中的一个字符相对应，此时NFA可以扫过这个字符，并经过黑色的边转换到下一状态；
• ε转换，是指NFA经由红色边转换到了一个状态而不扫描文本中的任何字符。

比如在上图的NFA中，由2->3, 1->6等都是ε转换，ε转换说明很多时候，NFA从一个状态转换到的下一个状态是不确定的，比如从状态3即可以到状态4，也可以回到状态2。正是由于这种不确定性的存在，NFA运行时，需要系统地尝试过所有的可能性后，才能得知是否匹配成功。

模拟NFA的运行

使用NFA进行正则表达式匹配的过程与使用DFA进行子字符串查找的整体过程大致相同，也是先根据给定的正则表达式构造NFA，然后模拟NFA在给定文本上的运行轨迹。

NFA的表示

首先考虑的是该如何表示NFA。正则表达式本身已经给出了所有的状态名，如果正则表达式的长度为M，那么0到M之间的整数就是所有的状态名，于是用char数组re保存正则表达式的每个字符，对于匹配转换，如果re[i]存在于字母表中，那么就存在一个从i到i+1的匹配转换。
对于ε转换，用有向图表示，它们都是连接0到M之间各个顶点的有向边。

构造与正则表达式相对应的NFA

在表示NFA的时候会使用一个char数组，一个有向图，另外还有一个栈来记录所有左括号和或操作符的位置。

• 连接操作
  连接操作的实现很容易，状态的匹配之后和字母表中字符的对应关系就是连接操作的实现。

• 括号
  遇到正则表达式中的左括号时，将它的索引压入栈中，在遇到右括号时，再从栈中弹出。

• 闭包操作
  闭包运算符'*'如果出现在单个字符之后，就在这个字符和'*'之间添加相互指向的两条ε转换；如果出现在右括号之后，就在对应的左括号和'*'之间添加相互指向的两条ε转换。

• 或操作
  遇到或操作也会添加两条ε转换，比如(A|B)，一条从左括号所对应的状态指向或操作后面第一个字符B所对应的状态，另一条从或操作符的状态指向右括号对于的状态。将"|"运算符的索引压入栈中，这样在到达右括号时从栈的顶部就可以拿到这个索引了。

public class Regular {
    private char[] re;
    private Digraph G;
    private int M;

    public Regular(String regexp) {
        Stack<Integer> ops = new Stack<Integer>();
        re = regexp.toCharArray();
        M = re.length;
        G = new Digraph(M + 1);

        for (int i = 0; i < M; i++) {
            int lp = i;
            if (re[i] == '(' || re[i] == '|')
                ops.push(i);
            else if (re[i] == ')') {
                int or = ops.pop();
                if (re[or] == '|') {
                    lp = ops.pop();
                    G.addEdge(lp, or + 1);
                    G.addEdge(or, i);
                } else
                    lp = or;
            }

            if (i < M - 1 && re[i + 1] == '*') {
                G.addEdge(lp, i + 1);
                G.addEdge(i + 1, lp);
            }

            if (re[i] == '(' || re[i] == '*' || re[i] == ')')
                G.addEdge(i, i + 1);
        }
    }
}

NFA的模拟与可达性

为了模拟NFA的运行，会记录NFA在检查当前输入字符时可能遇到的所有状态的集合。这里关键的计算是有向图的多点可达性问题，用深度优先搜索实现。
首先利用有向图查找所有从状态0通过ε转换可达的所有状态，记入一个集合中，这个集合用Bag数据结构来表示。对于集合中的每个状态，检查它是否可以与第一个输入的字符相匹配，如果匹配，在用这些匹配的状态集合继续在有向图中进行查找，就得到了NFA在匹配第一个字符后可达的所有状态的集合。重复这个过程直到可达的状态集合中含有接受状态（匹配成功）或者文本结束（匹配失败）。

public boolean recognize(String txt) {
    Bag<Integer> pc = new Bag<Integer>();
    DirectedDFS dfs = new DirectedDFS(G, 0);
    for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
        if (dfs.marked(v))
            pc.add(v);
    }

    for (int i = 0; i < txt.length(); i++) {
        Bag<Integer> match = new Bag<Integer>();
        for (int v : pc)
            if (v < M)
                if (re[v] == txt.charAt(i) || re[v] == '.')
                    match.add(v + 1);
        pc = new Bag<Integer>();
        dfs = new DirectedDFS(G, match);
        for (int v = 0; v < G.V(); v++)
            if (dfs.marked(v))
                pc.add(v);
    }

    for (int v : pc)
        if (v == M)
            return true;
    return false;
}