Codeforces Hello 2018 E题Logical Expression dp+最短路 好题

j题目链接： http://codeforces.com/contest/913/problem/E

题意：

　给你x,y,z三个变量，与&   或|  非！  括号（）   四种运算符，规定括号和非优先级最高，其次与&，最后或|。

　对于输入的真值表，输出最小字典序的逻辑表达式

挺难想的。关键点在于怎么定义状态并利用已有状态更新出新状态，并处理优先级问题。

状态转移：

对于两个表达式A1,A2及其真值表T1,T2，若没有优先级的问题，A1&A2的真值表为T1&T2,A1|A2的真值表为T1|T2,!A1的真值表为~T1。

为了解决优先级的问题，按优先级不同进行分类，以dp[i][j]存储真值表为i,优先级为j的字典序最小逻辑表达式。，操作只在相同优先级表达式之间进行，维护一个优先级之间的升降通道。

模仿dijkstra的思想，维护一个序列，每次选出字典序最小的表达式作为A1并pop掉，在dp[i][j]中枚举A2进行更新操作。

真值表共有2^(2^3)共256种，优先级共3种可能。状态数n=3*256。

每种状态至多作为A1被考虑一次，枚举A2O(n)，综合得算法复杂度O(n^2)

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int FULL=0xFF;
bool cmp(string a,string b)
{
    if(a.length()==b.length()) return a<b;
    return a.length()<b.length();
}
struct Expression
{
    int table;
    int level;
    string exp;
    Expression(int a,int b,string c) {table=a;level=b;exp=c;}
    bool operator < (const Expression& b)const
    {
        if(b.exp==exp)
        {
            if(level!=b.level) return level<b.level;
            return table<b.table;
        }
        return cmp(exp,b.exp);
    }
};
set<Expression> q;
string dp[1<<8][3];
void add(int level,int state,string s)
{
    if(dp[state][level].empty()||cmp(s,dp[state][level]))
    {
        dp[state][level]=s;
        Expression e(state,level,s);
        q.insert(e);
    }
}
void pre()
{
    int X_table=0,Y_table=0,Z_table=0;
    for(int i=0;i<8;++i)
    {
        if(i&(1<<2)) X_table+=(1<<i);
        if(i&(1<<1)) Y_table+=(1<<i);
        if(i&(1<<0)) Z_table+=(1<<i);
    }
    add(2,X_table,"x");
    add(2,Y_table,"y");
    add(2,Z_table,"z");
    while(!q.empty())
    {
        set<Expression>:: iterator it;
        it=q.begin();
        Expression u=*it;
        q.erase(it);
      //  auto u=*q.begin();
      //  q.erase(q.begin());
        if(u.level==2)
        {
            add(2,u.table^FULL,"!"+u.exp);
            add(1,u.table,u.exp);
        }
        if(u.level==1)
        {
            for(int i=0;i<=FULL;++i)
            {
                if(!dp[i][1].empty())
                {
                    add(1,i&u.table,dp[i][1]+"&"+u.exp);
                    add(1,i&u.table,u.exp+"&"+dp[i][1]);
                }
            }
            add(2,u.table,"("+u.exp+")");
            add(0,u.table,u.exp);
        }
        if(u.level==0)
        {
            for(int i=0;i<=FULL;++i)
            {
                if(!dp[i][0].empty())
                {
                    add(0,i|u.table,dp[i][0]+"|"+u.exp);
                    add(0,i|u.table,u.exp+"|"+dp[i][0]);
                }
            }
            add(2,u.table,"("+u.exp+")");
        }
    }
}
void work()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    string s;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>s;
       // cout<<"s="<<s<<endl;
        int state=0;
        for(int j=0;j<8;++j)
        {
            if(s[j]=='1') state|=(1<<j);
        }
        //printf("state=%d
",state);
        cout<<dp[state][0]<<endl;
    }
}
int main()
{
    pre();
    work();
    return 0;
}