Codeforces Beta Round #13 C. Sequence （DP）

题目大意

给一个数列，长度不超过 5000，每次可以将其中的一个数加 1 或者减 1，问，最少需要多少次操作，才能使得这个数列单调不降

数列中每个数为 -10⁹～10⁹ 中的一个数

做法分析

先这样考虑：如果操作的次数最少，那么最终得到的不降的数列，必然是由原始数列中的数组成的，具体的证明可以使用反证法

知道了上面讲述的性质，这题就好搞了

先将原始数列（设为 A，共 n 个数）中所有的数去重并从小到达排序，保存在另一个数列中（设为 B，共 m 个数）

定义状态：f[i][j] 表示将原始数列中的前 i 个数变成单调不降，第 i 个数最多为 B[j] 的最少操作次数

初始化 f[0][0]=abs(A[0]-B[0])， f[0][i]=min{ f[0][i-1], abs(A[0]-B[i]) }

初始化 f[i][0]=f[i-1][0]+abs(A[i]-A[0])，那么有：f[i][j]=min( f[i][j-1], f[i-1][j]+abs(A[i]-B[j]) )

目标状态：f[n-1][m-1]

由于内存的关系，可以使用滚动数组

 

参考代码

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <vector>
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 typedef long long LL;
10 const int N=5003;
11 const LL INF=(1LL)<<60;
12 
13 LL f[2][N], A[N], B[N];
14 vector <int> tub;
15 int n, m;
16 
17 int main() {
18     while(scanf("%d", &n)!=EOF) {
19         tub.clear(), m=0;
20         for(int i=0; i<n; i++) {
21             scanf("%I64d", &A[i]);
22             tub.push_back(A[i]);
23         }
24         sort(tub.begin(), tub.end());
25         for(int i=0; i<n; i++) {
26             while(i+1<n && tub[i]==tub[i+1]) i++;
27             B[m++]=tub[i];
28         }
29         memset(f, 0, sizeof f);
30         f[0][0]=abs(A[0]-B[0]);
31         for(int i=1; i<m; i++) f[0][i]=min(f[0][i-1], abs(A[0]-B[i]));
32         for(int i=1; i<n; i++) {
33             int cur=i&1, lst=cur^1;
34             f[cur][0]=f[lst][0]+abs(A[i]-B[0]);
35             for(int j=1; j<m; j++) f[cur][j]=min(f[cur][j-1], f[lst][j]+abs(A[i]-B[j]));
36         }
37         printf("%I64d
", f[(n-1)&1][m-1]);
38     }
39     return 0;
40 }

题目链接 & AC 通道

Codeforces Beta Round #13 C. Sequence