如何区分线性系统与非线性系统

想要明白线性系统，我们先要了解线性这个概念，以及知道线性系统可以用微分方程表示

线性性

对于一个函数 y=f(x) 来说，如果他有线性性，则必须要满足两个法则：比例性和叠加性

1. 比例性：对于任意的a，都有 a  =  (a  ) 成立，即x扩大a倍，y也扩大a倍。
2. 叠加性：若  =  （  ），  =  (  ) ，则 ( +  )=  (  +  )

比如 y=x+1 是一条直线，但它并不是线性的，即不满足上述条件，所以并不是所有直线都是线性的

微分运算也是一种线性运算

• 检验比例性

设  =  (x) , 则d(ky)/dx = kd(y)/dx = kg , 故满足比例性

• 检验叠加性

设  =  (  ) ,  =  (  ) , 则 d(  +  )/dx = d(  )/dx+d(  )/dx =  +  , 故满足叠加性

更高阶的微分同理可证，所以微分运算也是一种线性运算

这里提一句，单纯的微分运算对常数项无要求，即有无常数项都满足线性性

微分方程的线性性

微分方程是在微分计算的基础上的数学运算，设有下述微分方程:

  +  =   + 

可以验证比例性  , 叠加性  都成立

这里我就不验证了，第一次打公式，真的感觉好麻烦

这里又提一下，微分方程对常数项就有要求了，即有常数项，则微分方程不具有线性性

线性系统

可以用简单的一句话来描述线性系统：若该系统的的微分方程满足线性性，则该系统为线性系统

但是对于线性系统来说，一定要先区分系统的输入与输出，再来分析线性系统

例如函数： 

此时  才是输入，t不是直接的输入变量，所以即使  不是线性的，但该系统仍是线性的

如何从微分方程上判断线性系统

1. 只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；
2. 函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；
3. 函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；
4. 若有积分项，被积函数应为输入变量，如  。其实积分就是微分的负次幂。
5. 不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算。

与高等数学的线性方程的区别（以一阶为例）

高等数学中的一阶线性微分方程通常表示为： 

自控原理中的一阶线性微分方程通常表示为： 

看到两式的区别了吗？高数中  是  的函数，自控中  都是  的函数。