浅谈字符串匹配的KMP算法

序

今天跟qs聊了会，她放出了我的小时的照片，毕竟黑历史谁都有

然后，Singercoder 极限卡篮，还有就是，我又掉 rating 了,我也想去 NOI 呀

PS: Singercoder 掉青 2020/3/7

update: 2020/3/23 相应 Singercoder 所做的笔记

个人认为 Singercoder 的笔记写的是真的清晰 ，但无奈码风过于毒瘤了

KMP

前言

KMP 算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。

说句闲话

先说一下字符串匹配的定义，就是一个给你一个主串 S 一个模式串 T 然后求 T 在 S 里出现的每个位置

没有学KMP之前，我会两种字符串匹配算法，一个是朴素匹配，一个是有限自动机（不算是会，就是了解一下）但是这两个算法复杂度无疑可以卡成 (O(nm)), 是无法接受的，然而这闲的没事干的三人把字符串匹配做成了线性的 %%%。

但是似乎在 oi 里的用处不是很大吧，我从来也没在题里用过他，除了板子题

正文

来介绍一种 Knuth-Morris-Pratt 算法 这个算法可以做到在 (O(n + m)) 时间内完成模式串和主串的匹配，利用了前缀的一些性质，用到了辅助函数 (pi)

看算法的请往跳过，这里说的是原理

关于模式的前缀函数

这个算法的核心思想就在于此了，一个 (pi) 函数。它包含了模式与其自身的偏移的信息。这些信息在朴素匹配中没有利用到所以慢。

考察一下朴素字符串匹配的操作过程，下图正是朴素里一个匹配中的情景

我们可以看到，(q = 5) 个字符已经匹配成功了，那么我们知道的这 (q) 个字符可以为我们知道一些不必要的偏移了。在这个实例中，显然偏移为 s + 1 是无用的，因为第一个字符 (a) 将于文本匹配，但是该模式串的第二个字符 (b) 并不能于匹配。如下图所示，偏移 s' = s + 2 使模式串的前三个字符与后三个字符匹配

前方高能！

我们知道下面问题的 answer 是很有用的:

假设模式串 (T[1...q]) 和主串 (S[s + 1.. S+q]) 匹配，(s') 是最小的偏移量, (s' > s) , 那么对于某些 (k < q) ,满足

[T[1..k] = S[s'+1..s'+k] ]

的最小偏移 (s' > s) 其中 (s' + k = s + q) 是什么?

话句话说,已知 (T_qsqsupset S_{s+q}) ((asqsupset b) 表示 a 是 b 的后缀) 我们想要找到 (T_q) 的最长真前缀 k,也是 (S_{s+q}) 的后缀(找到 (k) 等价于写出了 (s') ) 显然的有 $s'= s + q - k $ .于是我们可以预先处理出这些 (k) 用 (pi) 数组存起来.

并且我们发现,求解这些信息就是一个 (T) 与其自身的匹配过程,下面来模拟一下过程以形象的说明.已知一个模式串 (T[1..m]) 前缀函数 (pi : {1...m} ightarrow{0...m - 1}) 满足

[pi[i] = max(k:k<i且 T_k sqsupset Ti) ]

下图给出了一个完整的 (pi) 函数

我们求解这个数组无疑就是自身与自身的匹配过程

代码实现

给出一种很巧妙的方法,我们不妨先设 pi[0] = -1 这可以减少码量

我们呢不妨假设 (pi) 已求出,现在要主串S与模式串T匹配

具体的时候,因为实现的问题，我们无需记录偏移量 (s) ,而是维护两个指针 (i,j).

for(i = 1; i <= lens; i++){
	while(j > -1 && T[j+1] != S[i]) j = pi[j];
	if(++j == lent) printf("%d
", i - lenb + 1);
}

可以理解为如果下一个字符不匹配那么就要做偏移了.直到一样或者无法偏移了

$ pi$ 就是 (T) 与其本身的每个后缀的最长公共前缀.我们求解 $ pi$ 的过程就是 (T) 与其本身的的匹配(但是不要从第一个开始)

特别地我们有一条引理 (pi[i] le pi[i - 1] + 1)

所以程序写的十分巧妙.

pi[0] = -1;
for(int i = 1; i <= lenb; i++){
	int j = pi[i - 1];
	while(j > -1 && T[i] != T[j+1]) j = pi[j];
	pi[i]=j+1;
}

exKMP

PS:会补充的

exKMP 解决的是这么一个问题，给你主串 S 和 字串 T，问题对于 S 的每个后缀 ，与 T 的最长公共前缀的长度

我们先定义数组:

[z[i] : 表示 T 的每个后缀与 T 的最长公共前缀的长度\ p[i] : 表示 S 的每个后缀与 T 的最长公共前缀的长度\ ]

在这里，我们不妨设 z 已求出，我们的任务是求解 p

在下面的表述方法中，对于一个字符串 S，记 (S_i) 为 S 的第 i 个字符，(S_{l sim r}) 为 S 从第 l 个字符起到第 r 个字符结束形成的子串

考虑从前向后地计算 p ,假设我们要计算 (p_i)，那么由 (forall j in [1,i),p_i) 已算出

设 l 是目前已经计算过的位置中，向由扩展的最长前缀的首字母的位置，即 l 满足 (p_l +l) 最大，记 r 为这个值，显然的有 (r ge i-1)

我们在此时就开始分类 ：

part 1

我们讨论 (r = i - 1) 的情况，我没在之前没有能利用的信息，于是，直接暴力匹配就好。

part 2

我们讨论 (r > i - 1) 的情况。这可就棘手了。当时没听懂 ，首先记 (j = i - l +1)

故而我们在做 l 的时候，就知道 (S_{lsim i}= T_{1 sim j})

于是，考虑我们要重复匹配的区间，其长度自然是 (r-i+1)，比较它与 (z_j) 的关系，分两种情况讨论

part 2.1

若 (z_j<r-i+1) ，则有 (T_{1sim z_j}=T_{ j sim j+z_j-1})，又因 (S_{isim r}=T_{jsim j+(r-i+1)})，于是我们有 (S_{i_i+z_j-1}=T_{jsim j+z_j-1}=T_{1sim z_j})，而显然的有 (S_{i+z_j}=T_{j+z_j} ot= T_{z_j+1})

于是有 (p_i=z_j=z_{i-l+1})

part2.2

照着前一个 能证明 (p_i ge r-i+1),后面不造故而暴力匹配

然后做 l，r 的的更新即可

而 z 数组的求解无非就是 T 本身的匹配，只要初始化 (z_1) 即可

献上代码

#define next z
#define extand p

void Get_Z(){
	next[1] = lenb;
	for(int i = 2, l = 0, r = 0; i <= lenb; ++i) {
		if(i <= r) next[i] = min(next[i - l + 1], r - i + 1);//先看看
		while(i + next[i] <= lenb && b[i + next[i]] == b[next[i] + 1]) ++next[i];//然后暴力
		if(i + next[i] -1 > r) l = i, r = i + next[i] - 1;//再更新
	}
}

void Get_P(){
	for(int i = 1, l = 0, r = 0;i <= lena; ++i) {
		if(i <= r) extand[i] = min(next[i - l + 1], r - i + 1);
		while(i + extand[i] <= lena && a[i + extand[i]] == b[extand[i] + 1]) ++extand[i];
		if(i + extand[i] - 1 > r) l = i, r = i + extand[i] - 1; 
	}
}