基变换

概要

主要介绍了几个基本概念：基的表示，线性变换矩阵，以及进一步地理解。
 

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定义以及记号

设 (mathscr{B}_1) 是 (n) 维向量空间 (V) 的一组基，记
egin{align}
mathscr{B}_1={ v_1 ,v_2, cdots , v_n }
end{align}

对于给定的基 (mathscr{B}_1)，我们定义一个由 (V) 到 (mathbf{F}^n) 的映射

egin{align}
x ightarrow [x]_{mathscr{B}_1}=
egin{bmatrix}
alpha_1 \
vdots \
alpha_n
end{bmatrix} qquad
ext{其中 } x=alpha_1 v_1 + alpha_2v_2+ cdots + alpha_n v_n
end{align}

显然该映射是一对一的，同时是到上的。

假设 (T) 是一个给定的 (V ightarrow V) 的线性变换，一旦给定 (Tv_1,Tv_2,cdots,Tv_n)， 对于 (forall x in V) 我们就可以确定 (Tx) 的值。原因是 (x=alpha_1 v_1 + alpha_2v_2+ cdots + alpha_n v_n) 有唯一的表示，且有线性关系知
egin{align}
Tx &=T(alpha_1 v_1 + alpha_2v_2+ cdots + alpha_n v_n) otag \
&=T(alpha_1 v_1)+T(alpha_2 v_2)+cdots+T(alpha_n v_n) otag\
&= alpha_1 Tv_1 + alpha_2 Tv_2 +cdots+ alpha_n Tv_n
end{align}
因此一旦知道 ([x]_{mathscr{B}_1})，(Tx) 随之也确定了。

我们知道一个空间的基并不是唯一的，要介绍基的变换，自然要引入另一组基，不妨用 (mathscr{B}_2) 表示
egin{align}
mathscr{B}_2={ w_1 ,w_2, cdots, w_n }
end{align}
先定义向量 (Tv_j) 在基 (mathscr{B}_2) 下的坐标为
egin{align}
[Tv_j] _{mathscr{B}_2}=
egin{bmatrix}
t_{1j} \
vdots \
t_{nj}
end{bmatrix}
label{tt1}
end{align}
则对于 (forall x in V)，我们有
egin{align}
[Tx]_{mathscr{B}_2} &=igg[sum_{j=1}^n alpha_j Tv_j igg]_{mathscr{B}_2} = sum_{j=1}^n alpha_j [Tv_j]_{mathscr{B}_2} otag \
&= sum_{j=1}^n alpha_j
egin{bmatrix}
t_{1j} \
vdots \
t_{nj}
end{bmatrix} =
egin{bmatrix}
t_{11} &cdots & t_{1n} \
vdots & ddots &vdots \
t_{n1} &cdots & t_{nn}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
alpha_1 \
vdots \
alpha_n
end{bmatrix}
label{tt2}
end{align}
由式 ef{tt1} 和式 ef{tt2} 知 (n) 维方阵 ([t_{ij}]) 只依赖于线性变换 (T) 和两组基 (mathscr{B}_1,mathscr{B}_2)，而和向量 (x) 无关。
我们再定义 (T) 的 (mathscr{B}_1-mathscr{B}_2) 基表示为

egin{align}
_{mathscr{B}_2}[T]_{mathscr{B}_1}=
egin{bmatrix}
t_{11} &cdots & t_{1n} \
vdots & ddots &vdots \
t_{n1} &cdots & t_{nn}
end{bmatrix} =
ig[
[Tv_1]_{mathscr{B}_2} cdots [Tv_n]_{mathscr{B}_2}
ig]
end{align}

总结一下，其实就是 ([Tx]_{mathscr{B}_2}={}_{mathscr{B}_2}[T]_{mathscr{B}_1} cdot [x]_{mathscr{B}_1},forall x in V). 一个特殊情况，当 (mathscr{B}_1=mathscr{B}_2) 时，我们称 (_{mathscr{B}_1}[T]_{mathscr{B}_1}) 为 (T) 的(mathscr{B}_1) 基表示。

进一步理解

先考虑单位线性变换 (I:V ightarrow V)，根据上一部分的内容，对 (forall x in V)，有
egin{align}
[x]_{mathscr{B}_2}=[Ix]_{mathscr{B}_2} = {}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot [x]_{mathscr{B}_1} = {}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot [Ix]_{mathscr{B}_1}= {}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[I]_{mathscr{B}_2} cdot [x]_{mathscr{B}_2}
label{tt3}
end{align}
取遍所有的基，即依次取 (x=w_1,w_2,cdots,w_n)，式 ef{tt3} 能够得出
egin{align}
{}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[I]_{mathscr{B}_2}= I_n
end{align}
这里必须取遍所有基，避免出现不动点的情况，而导致条件不充分。相反，如果从 ([x]_{mathscr{B}_1}=[Ix]_{mathscr{B}_1}=cdots) 开始计算，会得出
egin{align}
{}_{mathscr{B}_1}[I]_{mathscr{B}_2} cdot {}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1}= I_n
end{align}

因此，记 (Sequiv{}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1})，则 (S^{-1} = {}_{mathscr{B}_1}[I]_{mathscr{B}_2})，实际上，形如 ({}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1}) 的矩阵都是可逆的，反过来，每一个可逆阵 (S=[s_1 \, s_2 cdots s_n] in M_n(mathbf{F})) 对某个基 (mathscr{B}) 也有形式 ({}_{mathscr{B}_1}[I]_mathscr{B})，可以把 (mathscr{B}) 看成是由 ([ ilde{s}_i]_{mathscr{B}_1}=s_i,\, i=1,2,cdots,n) 定义的向量组 ({ ilde{s}_1, ilde{s}_2,cdots, ilde{s}_n}). 因为 (S) 可逆，所以向量组 (mathscr{B}) 线性无关。

注意到
egin{align}
_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1}=
ig[
[Iv_1]_{mathscr{B}_2} cdots [Iv_n]_{mathscr{B}_2}
ig] =
ig[
[v_1]_{mathscr{B}_2} cdots [v_n]_{mathscr{B}_2}
ig]
end{align}
于是 (_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1}) 是用基 (mathscr{B}_2) 来表示基 (mathscr{B}_1) 的各个元素。现在令 (x in V) ，经计算
egin{align}
{}_{mathscr{B}_2}[T]_{mathscr{B}_2} cdot [x]_{mathscr{B}_2} = [Tx]_{mathscr{B}_2} &=[I(Tx)]_{mathscr{B}_2} = {}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot [Tx]_{mathscr{B}_1} otag \
&={}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[T]_{mathscr{B}_1} cdot [x]_{mathscr{B}_1} ={}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[T]_{mathscr{B}_1} cdot [Ix]_{mathscr{B}_1} otag \
&={}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[T]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[I]_{mathscr{B}_2} cdot [x]_{mathscr{B}_2}
end{align}
依次取 (x=w_1,w_2,cdots,w_n)，便得出
egin{align}
{}_{mathscr{B}_2}[T]_{mathscr{B}_2} = {}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[T]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[I]_{mathscr{B}_2}
end{align}
这个恒等式说明，如果用来计算的基发生变化，(T) 的基将如何变化，即是怎么从基 (mathscr{B}_1) 变化到基 (mathscr{B}_2) 的，正是如此，才称矩阵 ({}_{mathscr{B}_2}[T]_{mathscr{B}_1}) 为(mathscr{B}_1 - mathscr{B}_2) 基变换矩阵。

任一矩阵 (A in M_n(mathbf{F})) 是某个线性变换 (T:V ightarrow V) 的一个基表示，这是因为，如果 (mathscr{B}) 是 (V) 的任一组基，可以用 ([Tx]_{mathscr{B}}=A[x]_{mathscr{B}}) 来确定 (Tx)，把 ([Tx]_{mathscr{B}}) 展开即可算出，对于这个 (T)，({}_{mathscr{B}}[T]_{mathscr{B}}=A).
 

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读完应该知道什么

• 线性变换 (T) 的 (mathscr{B}_1-mathscr{B}_2) 基表示为 (n) 维方阵，也称为 (mathscr{B}_1 - mathscr{B}_2) 基变换矩阵
• 基变换矩阵只依赖于线性变换 (T) 和两组基 (mathscr{B}_1,mathscr{B}_2)
• ([Tx]_{mathscr{B}_2}={}_{mathscr{B}_2}[T]_{mathscr{B}_1} cdot [x]_{mathscr{B}_1},forall x in V)
• ({}_{mathscr{B}_2}[T]_{mathscr{B}_2} = {}_{mathscr{B}_2}[I]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[T]_{mathscr{B}_1} cdot {}_{mathscr{B}_1}[I]_{mathscr{B}_2})
• 任一矩阵 (A in M_n(mathbf{F})) 是某个线性变换 (T:V ightarrow V) 的一个基表示

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写在最后的话

文章用的是 Markdown 结合 MathJax 插件，写数学公式时，对一些转义字符冲突的问题。主要是两个：_ 和 \， 后面跟单词的情况是没问题的，_ 在 $ 符号之间也没问题，我遇到主要出现在egin 内的公式里，如果出现问题，我自己的解决方案：

• \ 写成 \\ .
• 在 _ 左边加个，如果要显示左下标，加上占位符 {}即可。

第一次敲这个，就这么点内容花了将近一天时间哪！如果公式很多的话，还是用 (mathrm{LaTeX})，然后粘贴图片比较方便。