概要
主要介绍左右特征向量以及重要的性质。
左右特征向量
下面给一个简单结论，
**证明**：不妨假设 $x$ 是一个单位向量，计算给出 $mu=mu x^*x=(x^*A)x=x^*Ax=x^*(Ax)=x^*(lambda x)=lambda x^* x=lambda$.
每一种类型的特征向量都传递出有关矩阵的不同信息，而了解这两类类型的特征向量是怎样相互影响的，可能是非常有用的，接下来给一个重要的定理，
证明：(a)计算如下，
egin{align*}
mu (y^*x)=(mu y*)x=(y*A)x=y*(Ax)=y*(lambda x)=lambda (y^* x)
end{align*}
故而 ((lambda-mu)(y^*x)=0), 又 (lambda
eq mu), 故 (y^*x=0).
(b) 假设 (Ax=lambda x) 以及 (y^*A=mu y^*), 且 (y^*x
eq 0). 我们知道等比例缩放特征向量仍是特征向量，所以可以用 (y/(x^*y)) 代替 (y), 这时不妨设 (y^*x=1). 令 (S_1in M_{n,n-1}) 的列是 (y) 的 正交补的任意一组基（所以 (y^*S_1=0)), 并考虑 (S=egin{bmatrix} x&S_1 end{bmatrix}in M_n). 设 (z=egin{bmatrix} z_1& zeta^T end{bmatrix}^T) （其中(z_1) 是一个纯量， (zeta in mathbb{C}^{n-1})），并假设 (Sz=0). 那么
[
0=y*Sz=y*(z_1x+S_1zeta)=z_1(y*x)+(y*S_1)zeta=z_1
]
所以 (z_1=0) 且 (0=Sz=S_1zeta), 这蕴含 (zeta=0), 这是因为 (S_1) 是列满秩的。所以可以断定 (S) 是非奇异的。用 (eta in mathbb{C}^n) 分划 (S^{-*}=egin{bmatrix} eta &Z_1 end{bmatrix}), 并计算
[
I_n=S^{-1}S=egin{bmatrix} eta^* \ Z_1^* end{bmatrix} egin{bmatrix} x&S_1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} eta^* x& eta^* S_1 \Z_1^* x & Z_1^* S_1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 &0 \ 0&I_{n-1} end{bmatrix}
]
其中包含四个恒等式。恒等式 (eta^*S_1=0) 蕴含 (eta) 与 (y) 的正交补正交，所以对某个纯量 (alpha) 有 (eta=alpha y). 恒等式 (eta^* x=1) 告诉我们 (eta^*x=(alpha y)^*x=ar{alpha}(y^*x)=ar{alpha}=1), 所以 (eta=y). 利用恒等式 (eta^*S_1=y^*S_1=0) 与 (Z_1^*x=0), 以及 (x) 与 (y) 的特征向量的性质，计算相似矩阵
egin{align*}
S^{-1}AS &=egin{bmatrix} y^* \ Z_1^* end{bmatrix}Aegin{bmatrix} x&S_1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} y^*Ax & y^*AS_1 \ Z_1^*Ax & Z_1^*AS_1 end{bmatrix} \
&= egin{bmatrix} (lambda y^*)x & (lambda y^*)S_1 \ Z_1^*(lambda x) & Z_1^*AS_1 end{bmatrix} = egin{bmatrix} lambda (y^*x) & lambda (y^*S_1) \ lambda (Z_1^*x) & Z_1^*AS_1 end{bmatrix}= egin{bmatrix} lambda & 0 \0 & Z_1^*AS_1 end{bmatrix}
end{align*}
这就验证了 ((*)) 式。
反过来，假设存在一个非奇异的 (S), 使得 (A=S(egin{bmatrix} lambda end{bmatrix}oplus B)S^{-1}). 设 (x) 是 (S) 的第一列， (y) 是 (S^{-*}) 的第一列，且分划 (S=egin{bmatrix} x&S_1 end{bmatrix}) 以及 (S^{-*}=egin{bmatrix} y&Z_1 end{bmatrix}), 则恒等式 (S^{-1}S=I) 的位于 ((1,1)) 处的元素告诉我们 (y^*x=1); 恒等式
[
egin{bmatrix} Ax&AS_1 end{bmatrix}=AS=S(egin{bmatrix} lambda end{bmatrix} oplus B)=egin{bmatrix} lambda x&S_1 B end{bmatrix}
]
的第一列告诉我们 (Ax=lambda x);而恒等式
[
egin{bmatrix} y^*A \ Z_1^*A end{bmatrix}=S^{-1}A=(egin{bmatrix} lambda end{bmatrix} oplus B)S^{-1}=egin{bmatrix} lambda y^* \ B Z_1^* end{bmatrix}
]
的第一行告诉我们 (y^*A=lambda y^*).
定理 (1.1)(a) 结论是双正交原理。相似不改变矩阵的特征值，它的特征向量在相似之下以一种简单的方式进行变换。
证明：如果 (Bx=lambda x), 那么 (S^{-1}ASx=lambda x), 即 (A(Sx)=lambda (Sx)). 由于 (S) 是非奇异的，且 (x
eq 0, Sx
eq 0), 故而 (Sx) 是 (A) 的一个特征向量。如果 (y^*B=lambda y^*), 那么 (y^*S^{-1}AS=lambda y^*), 对 ((y^*S^{-1})A=lambda (y^*S^{-1})) 括号内的部分取两次共轭转置，即得 ((S^{-*}y)^*A=lambda (S^{-*}y)^*).
最后要给出一个定理，但是还得利用一个引理，
证明：我们有 (mathrm{rank}(lambda I-A)=n-1), 故而 (mathrm{rank}\,mathrm{adj}(lambda I-A)=1), 所以存在非零的 (xi,eta in mathbb{C}^n) 使得 (mathrm{adj}(lambda I-A)=xi eta^*), 但是 ((lambda I-A)(mathrm{adj}(lambda I-A))=mathrm{det}(lambda I-A)I=0), 所以 ((lambda I-A)xieta^*=0), 且 ((lambda I-A)xi=0), 它蕴含着对某个非零的纯量 (alpha) 有 (xi=alpha x). 按照类似的方法利用恒等式 ((mathrm{adj}(lambda I-A))(lambda I-A)=0), 我们可得出结论：对某个非零的纯量 (eta) 有 (eta=eta y). 于是有 (mathrm{adj}(lambda I-A)=alpha eta xy^*).
**证明**：对于 (a) 与 (b) 这两种情形，$lambda$ 的几何重数都为 $1$. 上一个引理告诉我们，存在一个非零的 $gammainmathbb{C}$, 使得 $mathrm{adj}(lambda I-A)=gamma xy^*$. 这样就有 $p_A(lambda)=0$ 以及 $p'_A(lambda)=mathrm{tr} \, mathrm{adj}(lambda I-A)=gamma y^*x$. 在 (a) 中我们设了代数重数为 $1$, 所以 $p'_A(lambda)
eq 0$, 从而 $y^*x
eq 0$. 在 (b) 中我们设了 $y^*x
eq 0$, 所以 $p'_A(lambda)
eq 0$, 故而其代数重数为 $1$.
读完应该知道点什么
设给定 (A in M_n), 非零向量 (x,y in mathbb{C}^n) 以及纯量 (lambda, mu in mathbb{C}). 假设 (Ax=lambda x) 以及 (y^*A=mu y^*).
- 如果 (x=y), 那么 (lambda=mu)
- 如果 (lambda eq mu), 那么 (y^*x=0)（双正交原理）
- 如果 (lambda = mu) 且 (lambda) 的代数重数为 (1), 那么 (y^*x eq 0)
- 如果 (lambda = mu) 且 (lambda) 的几何重数为 (1), 那么它的代数重数为 (1) 当且仅当 (y^*x eq 0)