将学习到什么？
本部分介绍酉相似的一些内容，主要是定义和两个特殊的酉相似。
基础
酉相似是一种特殊类型的相似，定义如下
与相似关系一样，酉相似也是一种等价关系.
下面的定理说明了酉相似不改变矩阵的 2 范数。
证明：由于 (mathrm{tr}\, (A^*A)=sum_{i,j=1}^{n,m} lvert a_{ij}
vert ^2), 所以只需验证 (mathrm{tr}\, (A^*A)=mathrm{tr}\, (B^*B)). 如下
egin{align}
mathrm{tr}\, (A^*A)=mathrm{tr}\, (V^*B^*U^*UBV)=mathrm{tr}\, (B^*BVV^*)=mathrm{tr}\, (B^*B)
otag
end{align}
与相似类似的是，酉相似对应于基的改变，不过是特殊类型的——酉相似对应的是从一组标准正交基到另一组标准正交基的改变。
深入一点
酉相似于对角元素相等的矩阵
比如对于 2 维实矩阵 (A). 如果 (A=[a_{ij}]) 元素不相等，考虑平面旋转矩阵 (U_{ heta}=egin{bmatrix} cos heta & -sin heta \ sin heta & cos heta end{bmatrix}). 计算 ((cos ^2 heta-sin^2 heta)(a_{11}-a_{22})=2sin heta cos heta(a_{12}+a_{21})) 可发现 (U_{ heta}AU_{ heta}^T) 的对角元素相等, 所以可选取 ( heta in (0,pi / 2)) 使得 (cot 2 heta=(a_{12}+a_{21}) / (a_{11}-a_{22})), 这样就达到目的了. 对于 (n>2) 维的矩阵，定义 (f(A)=max {lvert a_{ii}-a_{jj}
vert : i,j=1,2,cdots,n}). 如果 (f(A)>0), 就对满足 (f(A)={lvert a_{ii}-a_{jj}
vert }) 的一对指标 (i,j), 令 (A_2=egin{bmatrix} a_{ii} & a_{ij} \ a_{ji} &a_{jj}end{bmatrix}). 设 (U_2in M_2) 是酉矩阵，当 (A) 是实的时它是实的。且使得 (U_2^*A_2U_2) 的两个主对角元素都等于 (frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj})), 以在酉矩阵中从 (2 imes 2) 平面旋转构造出 (U( heta;i,j)) 的方式从 (U_2) 构造出 (U_{i,j}in M_n). 酉相似 (U(i,j)^*AU(i,j)) 只影响到行与列在 (i) 与 (j) 的元素，所以它保持 (A) 的每一个主对角元素不变，除非该元素在位置在 (i) 与 (j) 处，这样的元素以平均值 (frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj})) 代替.
重复上述步骤，即可使矩阵 (A) 变换到所有对角元素都相等的矩阵.
与上 Hessenberg 矩阵酉相似
设给定 (A=[a_{ij}]in M_n). 下面的构造表明 (A) 与一个第一条次对角线元素非负的上 Hessenberg 矩阵是酉相似的. 设 (a_1) 是 (A) 的第一列，它被分划成 (a_1^T=[a_{11}, xi^T]), 其中 (xi in mathbb{C}^{n-1}). 如果 (xi=0), 就令 (U_1=I_{n-1}), 反之，就利用 QR 分解 中定理 1.1 中的构造方法构造 (U_1=U(lVert xi Vert _2 e_1 , xi )in M_{n-1}), 它是将 (xi) 变成 (e_1) 的正倍数的酉矩阵. 构造酉矩阵 (V_1=I_1oplus U_1) 并注意到 (V_1A) 的第一列是列向量 ([a_{11},lVert xi Vert _2, 0]^T). 此外，(A_1=(V_1A)V_1^*) 与 (V_1A) 的第一列相同，且与 (A) 酉相似。重复上述步骤，经过至多 (n-1) 步，就构造产生出了一个上 Hessenberg 矩阵，它与 (A) 酉相似，且次对角线元素非负.
应该学习到什么
- 酉相似不改变矩阵的 2 范数
- 酉相似把一组标准正交基变换到另一组标准正交基
- 酉相似于对角元素相等的矩阵
- 与上 Hessenberg 矩阵酉相似