Jordan 标准型的实例

将学习到什么

练习一下如何把一个矩阵化为 Jordan 标准型.

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将矩阵化为 Jordan 标准型需要三步：

• 第一步 求出矩阵 (A in M_n) 全部的特征值 (lambda_1,cdots,lambda_t), 假设有 (t) 个不同的特征值
• 第二步 Jordan 标准型定理 中的推论告诉我们：(w_k(A,lambda)-w_{k+1}(A,lambda)) 是以 (lambda) 为特征值且阶恰好为 (k) 的 Jordan 块的个数. 我们就利用这个公式计算出以 (lambda) 为特征值，阶为 (ell) 的个数， (ell, ell=1,2,cdots) 逐次计算. 以 (lambda) 为特征值的 Jordan 块阶数之和等于特征值 (lambda) 的代数重数，由此可知是否已经找出全部以 (lambda) 为特征值的 Jordan 块
• 第三步 将所获得的 Jordan 块按任意次序排列成 Jordan 矩阵.

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例 1

将矩阵

egin{align}
A=egin{bmatrix} 2 & 6 & -15 \ 1 & 1 & -5 \ 1 & 2 & -6 end{bmatrix}
end{align}

化为 Jordan 标准型.

第一步：求特征值

矩阵 (A) 的特征多项式为
egin{align}
lvert lambda I-A vert =egin{bmatrix} lambda-2 & -6 & 15 \ -1 & lambda-1 & 5 \ -1 & -2 & lambda+6 end{bmatrix} =(lambda+1)^3
end{align}

所以它只有一个特征值 (lambda_1=-1), 代数重数为 3.
 

第二步：求 Jordan 块

对 (lambda_1=-1), 令
egin{align}
B=A-lambda_1 I = A+I =egin{bmatrix} 3 & 6 & -15 \ 1 & 2 & -5 \ 1 & 2 & -5 end{bmatrix}, qquad B^2=0
end{align}
所以以 (lambda_1) 为特征值阶为 1 的 Jordan 块的个数为
egin{align}
w_1(A,lambda_1)-w_2(A,lambda_1)=[n-r_1(A,lambda_1)] - [r_1(A,lambda_1)-r_2(A,lambda_1)] = [3-1]-[1-0]=1
end{align}
其中 $r_k(A,lambda)=mathrm{rank} (A-lambda I)^k, quad r_0(A,lambda):=n $, (n) 为方阵 (A) 的大小.
同理，以 (lambda_1) 为特征值阶为 2 的 Jordan 块的个数为
egin{align}
w_2(A,lambda_1)-w_3(A,lambda_1)=[r_1(A,lambda_1)-r_2(A,lambda_1)] - [r_2(A,lambda_1)-r_3(A,lambda_1)] = [1-0]-[0-0]=1
end{align}
上面两个 Jordan 块阶数之和为 3，等于 (lambda_1) 的重数，因而不再存在以 (lambda_1) 为特征值的其它 Jordan 块. 因矩阵 (A) 没有其它特征值，故 Jordan 块求解完毕.

第三步：组成 Jordan 矩阵

只有一个重数为 3 的特征值 (lambda_1=-1)，一阶二阶各一个，所以矩阵 (A) 的 Jordan 标准型为

egin{align}
J=egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 1 \ 0 & 0 & -1end{bmatrix}
end{align}

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例 2

将矩阵
egin{align}
A=egin{bmatrix} 3 & -4 & 0 & 2 \ 4 & -5 & -2 & 4 \ 0 & 0 & 3 & -2 \ 0 & 0 & 2 & -1 end{bmatrix}
end{align}
化为 Jordan 标准型.

矩阵 (A) 的特征多项式为
egin{align}
lvert lambda I-A vert =egin{bmatrix} lambda-3 & 4 & 0 & -2 \ -4 & lambda+5 & 2 & -4 \ 0 & 0 & lambda-3 & 2 \ 0 & 0 & -2 & lambda+1 end{bmatrix}= (lambda+1)^2(lambda-1)^2
end{align}

所以它有两个特征值 (lambda_1=-1) 和 (lambda_2=1), 代数重数都为 2.
 

第二步：求 Jordan 块

对 (lambda_1=-1), 令
egin{align}
B_1=A-lambda_1 I = A+I &=egin{bmatrix} 4 & -4 & 0 & 2 \ 4 & -4 & -2 & 4 \ 0 & 0 & 4 & -2 \ 0 & 0 & 2 & 0 end{bmatrix} qquad mathrm{rank}\,B_1=3 \
B_1^2 &=egin{bmatrix} 0 & 0 &12 & -8 \ 0 & 0 & 8 & -4 \ 0 & 0 & 12 & -8 \ 0 & 0 & 8 & -4 end{bmatrix} qquad mathrm{rank}\,B_1^2=2 \
B_1^3 &=egin{bmatrix} 0 & 0 & 32 & -24 \ 0 & 0 & 24 & -16 \ 0 & 0 & 32 & -24 \ 0 & 0 & 24 & -16 end{bmatrix} qquad mathrm{rank}\,B_1^3=2
end{align}
所以以 (lambda_1) 为特征值阶为 1 的 Jordan 块的个数为
egin{align}
w_1(A,lambda_1)-w_2(A,lambda_1)=[n-r_1(A,lambda_1)] - [r_1(A,lambda_1)-r_2(A,lambda_1)] = [4-3]-[3-2]=0
end{align}
以 (lambda_1) 为特征值阶为 2 的 Jordan 块的个数为
egin{align}
w_2(A,lambda_1)-w_3(A,lambda_1)=[r_1(A,lambda_1)-r_2(A,lambda_1)] - [r_2(A,lambda_1)-r_3(A,lambda_1)] = [3-2]-[2-2]=1
end{align}
上面第二个 Jordan 块阶数为 2，等于 (lambda_1) 的重数，所以以 (lambda_1) 为特征值的 Jordan 块求解完毕.
 
对 (lambda_2=1), 令
egin{align}
B_2=A-lambda_2 I = A-I &=egin{bmatrix} 2 & -4 & 0 & 2 \ 4 & -6 & -2 & 4 \ 0 & 0 & 2 & -2 \ 0 & 0 & 2 & -2 end{bmatrix} qquad mathrm{rank}\,B_2=3 \
B_2^2 &=egin{bmatrix} -12 & 16 & 12 & -16 \ -16 & 20 & 16 & -20 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} qquad mathrm{rank}\,B_2^2=2 \
B_2^3 &=egin{bmatrix} 40 & -48 & -40 & 48 \ 48 & -56 & -48 & 56 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} qquad mathrm{rank}\,B_2^3=2
end{align}
所以以 (lambda_2) 为特征值阶为 1 的 Jordan 块的个数为
egin{align}
w_1(A,lambda_2)-w_2(A,lambda_2)=[n-r_1(A,lambda_2)] - [r_1(A,lambda_2)-r_2(A,lambda_2)] = [4-3]-[3-2]=0
end{align}
以 (lambda_2) 为特征值阶为 2 的 Jordan 块的个数为
egin{align}
w_2(A,lambda_2)-w_3(A,lambda_2)=[r_1(A,lambda_2)-r_2(A,lambda_2)] - [r_2(A,lambda_2)-r_3(A,lambda_2)] = [3-2]-[2-2]=1
end{align}
上面第二个 Jordan 块阶数为 2，等于 (lambda_2) 的重数，所以以 (lambda_2) 为特征值的 Jordan 块求解完毕.

由 Jordan 标准型定理 的式 (6) 知，矩阵 (B^k), (k>2) 的秩不会再变化了，即次数大于特征值的最大的 Jordan 块的阶数时不再变化，最少为 (n) 减去 (lambda) 的最大的 Jordan 块的阶数，这里也就是 2.

第三步：组成 Jordan 矩阵

以 (lambda_1=-1) 和 (lambda_2=1)为特征值的 Jordan 块各是一个二阶的，所以矩阵 (A) 的 Jordan 标准型为

egin{align}
J=egin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 0&0&0& 1end{bmatrix}
end{align}