将学习到什么
介绍于酉相似来说更一般的情况：酉等价. 不用加交换性，我们可以用相同的酉等价将任意两个给定的矩阵化为上三角型. 不用是正规方阵，任何复矩阵可以用酉等价来对角化，即奇异值分解.
酉等价
假设给定矩阵 (A) 是 (n) 维复向量空间上一个线性变换 (T:V ightarrow V) 关于一组给定标准正交基的基表示. 那么酉相似 (A ightarrow UAU^*) 与标准正交基间的变换相对应. 现在改变一下映射空间，假设线性变换 (T:V_1(mathbb{C}^n) ightarrow V_2(mathbb{C}^m)) (A in M_{m,n}) 是它关于 (V_1) 与 (V_2) 的给定的标准正交基的表示，那么酉等价 (A ightarrow UAW^*) 对应于 (V_1) 与 (V_2) 的给定标准正交基间的变换. 所以酉等价涉及两个可以独立选取的酉矩阵，这个附加的灵活性允许我们将其化简到特殊的形式，这个特殊形式或许用酉相似无法达到.
为了确保能用相同的酉相似将 (A,Bin M_n) 化为上三角型，必须对它们设定某种条件如交换性. 然而，我们可以用相同的酉等价将任意两个给定的矩阵化为上三角型.
定理 1：设 (A,B in M_n). 则存在酉矩阵 (V,Win M_n), 使得 (A=VT_AW^*), (B=VT_BW^*), 且 (T_A) 和 (T_B) 都是上三角的. 如果 (B) 是非奇异的，(T_B^{-1}T_A) 的主对角元素就是 (B^{-1}A) 的特征值.
证明： 假设 (B) 是非奇异的，利用Schur 定理记 (B^{-1}A=UTU^*), 其中 (U) 是酉矩阵，而 (T) 是上三角的. 利用QR 分解来记 (BU=QR), 其中 (Q) 是酉矩阵，而 (R) 是上三角的. 那么 (A=BUTU^*=Q(RT)U^*), (RT) 是上三角的，且 (B=QRU^*). 此外，(B^{-1}A=UR^{-1}Q^*QRTU^*=UTU^*) 的特征值是 (T) 的主对角元素.
如果 (A) 与 (B) 两者都是奇异的，则存在一个 (delta>0), 使得只要 (0<varepsilon <delta), (B_{varepsilon}=B+varepsilon I) 就是非奇异的. 对任何满足这一限制条件的 (varepsilon) 我们已经证明了存在酉矩阵 (V_{varepsilon}, W_{varepsilon}in M_n), 使得 (V_{varepsilon}^*AW_{varepsilon}) 与 (V_{varepsilon}^*BW_{varepsilon}) 都是上三角的. 选取一列非零的纯量 (varepsilon_k), 使得 (varepsilon_k
ightarrow 0) 且 (limlimits_{k
ightarrow infty} V_{varepsilon_k}=V) 与 (limlimits_{k
ightarrow infty} W_{varepsilon_k}=W) 这两者都存在. 极限 (V) 与 (W) 中的每一个都是酉矩阵，这样， (limlimits_{k
ightarrow infty} V_{varepsilon_k}^*AW_{varepsilon_k}=V^*AW=T_A) 与 (limlimits_{k
ightarrow infty} V_{varepsilon_k}^*BW_{varepsilon_k}=V^*BW=T_B) 中每一个都是上三角的. 我们就得出结论 (A=VT_AW^*) 与 (B=VT_BW^*), 证明完成.
这个定理还有一个实的形式，它利用了一个事实：假设 (A,B in M_n), (A) 是上三角的，而 (B) 是上拟三角的. 则 (AB) 是与 (B) 共形的上拟三角矩阵. 下面给出实的形式
定理 2：设 (A,B in M_n(mathbb{R})). 则存在实正交矩阵 (V,Win M_n), 使得 (A=VT_AW^T), (B=VT_BW^T), 且 (T_A) 是实的且是拟三角的，而 (T_B) 是实的且是上三角的.
尽管只有正规的方阵才可以用酉相似来使其对角化，任何复矩阵也可以用酉等价来对角化.
奇异值分解
定理 3：奇异值分解 设给定 (A in M_{n,m}), 令 (q=min {m,n}) 并假设 (mathrm{rank}\, A=r).
(a) 存在酉矩阵 (Vin M_n) 与 (W in M_m) , 以及一个对角方阵
egin{align} label{e11}
Sigma_q=egin{bmatrix} sigma_1 & & 0 \ & ddots & \ 0 && sigma_q end{bmatrix}
end{align} 使得 $ sigma_1 geqslant sigma_2 geqslant cdots geqslant sigma_r > 0 =sigma_{r+1}=cdots =sigma_q$ 以及 (A=V Sigma W^*), 其中
egin{align}
& Sigma=Sigma_q & ext{如果}\,\, m=n
otag \ label{equ1}
& Sigma=egin{bmatrix}Sigma_q & 0 end{bmatrix} in M_{n,m} qquad & ext{如果}\,\, m>n \
&Sigma=egin{bmatrix} Sigma_q \ 0 end{bmatrix} in M_{n,m} & ext{如果}\,\, m<n
otag
end{align}
(b) 参数 (sigma_1,cdots,sigma_r) 是 (AA^*) 的按照递减次序排列的非零特征值的正的平方根，它们与 (A^*A) 的按照递减次序排列的非零特征值的正的平方根是相同的.
证明：首先假设 (m=n). Hermite 矩阵 (AA^* in M_n) 与 (A^*A in M_m) 有同样的特征值，从而它们是酉相似的，于是存在一个酉矩阵 (U), 使得 (A^*A=U(AA^*)U^*). 这样就有
egin{align}
(UA)^*(UA)=A^*U^*UA=A^*A=UAA^*U^*=(UA)(UA)^*
end{align}
所以 (UA) 是正规的. 设 (lambda_1=lvert lambda_1
vert mathrm{e}^{mathrm{i} heta_1},cdots,lambda_n=lvert lambda_n
vert mathrm{e}^{mathrm{i} heta_n}) 是 (UA) 的按照次序 (lvert lambda_1
vert geqslant cdots geqslant lvert lambda_n
vert) 排列的特征值. 这样 (r=mathrm{rank}\,A=mathrm{rank}\,UA) 就是正规矩阵 (UA) 的非零特征值的个数，所以 (lvert lambda_r
vert >0) 且 (lambda_{r+1}=cdots=lambda_n=0). 设 (Lambda=mathrm{diag}(lambda_1,cdots,lambda_n)), 令 (D=mathrm{diag}(mathrm{e}^{mathrm{i} heta_1},cdots,mathrm{e}^{mathrm{i} heta_n})), (Sigma_q=mathrm{diag}(lvert lambda_1
vert,cdots,lvert lambda_n
vert)), 又设 (X) 是酉矩阵使 (UA=XLambda X^*). 那么 (D) 是酉矩阵且 (A=U^*XLambda X^*=U^*XSigma_q DX^*=(U^*X)Sigma_q (DX^*)) 就给出了所欲求之的分解，其中 (V=U^*X) 与 (W=XD^*) 是酉矩阵，而 (sigma_j=lvert lambda_j
vert,j=1,cdots,n).
现在假设 (m>n). 这样就有 (r leqslant n), 故而 (A) 的零空间的维数为 (m-r geqslant m-n). 设 (x_1,cdots, x_{m-n}) 是 (A) 的零空间中任意一组标准正交的向量，设 (X_2=[x_1 quad cdots quad x_{m-n}] in M_{m,m-n}), 又设 (X=[X_1 quad X_2] in M_m) 是酉矩阵，即将给定的标准正交向量组扩展成为 (mathbb{C}^m) 的一组基. 那么就有 (AX=[AX_1 quad AX_2] = [AX_1 quad 0]) 以及 (AX_1 in M_n). 利用上一种情形，记 (AX_1=V Sigma_q W^*), 其中 (V,W in M_n) 是酉矩阵，而 (Sigma_q) 有
ef{e11} 的形式. 这就给出
egin{align}
A=egin{bmatrix} AX_1 & 0 end{bmatrix} X^*=egin{bmatrix} VSigma_q W^* & 0 end{bmatrix} X^*= V egin{bmatrix} Sigma_q & 0 end{bmatrix} left ( egin{bmatrix} W^* & 0 \ 0 & I_{m-n}end{bmatrix} X^*
ight )
end{align}
这就是结论中所说的分解.
如果 (n>m), 将上面的情形应用于 (A^*).
利用分解 (A=V Sigma W^*), 注意 (mathrm{rank}\,A=mathrm{rank}\,Sigma)（这是因为 (V) 与 (W) 是非奇异的）. 但是 (mathrm{rank}\,Sigma) 等于 (Sigma) 的不为零的（从而是正的）对角元素的个数，如结论所说. 现在计算 (AA^*=V Sigma W^*WSigma^TV^*=V Sigma Sigma^T V^*), 它与 (Sigma Sigma^T) 酉相似. 如果 (n=m), 那么 (Sigma Sigma^T=Sigma_q^2=mathrm{diag}(sigma_1^2,cdots,sigma_n^2)). 如果 (m>n), 则 (Sigma Sigma^T=[Sigma_q quad 0][Sigma_q quad 0]^T=Sigma_q^2+0_n=Sigma_q^2). 最后，如果 (n>m), 那么
egin{align}
Sigma Sigma^T=egin{bmatrix} Sigma_q \ 0 end{bmatrix} egin{bmatrix} Sigma_q & 0 end{bmatrix}=egin{bmatrix} Sigma_q^2 & 0 \ 0 & 0_{n-m}end{bmatrix}
end{align}
在每一种情形，(AA^*) 的非零特征值都是 (sigma_1^2,cdots,sigma_r^2), 如所断言.
式
ef{equ1} 中矩阵 (Sigma) 的对角元素称为 (A) 的奇异值. (A) 的奇异值 (sigma) 的重数是 (sigma^2) 作为 (AA^*) 的特征值的重数，或者等价说，也就是 (A^*A) 的特征值的重数. (A) 的一个奇异值 (sigma) 称为是单重的，如果 (sigma^2) 是 (AA^*) 的单重特征值，或者等价地说是 (A^*A) 的单重特征值. (A) 的秩等于它的非零奇异值的个数，而 (mathrm{rank}\,A) 不小于（有可能大于）它的非零特征值的个数（比如严格上三角矩阵）.
(A) 的奇异值由 (A^*A)（或 (AA^*)）的特征值唯一地决定，所以，(A) 的奇异值分解式中对角因子 (Sigma) 除了对角元素的排列可能会有变化之外也是唯一确定的；为使得 (Sigma) 唯一，习惯上选择让奇异值按照非增的次序排列，不过也可以采用其它的选择方法.
设 (A in M_{m,n}). 容易看出 (A,ar{A},A^T) 以及 (A^*) 有同样的奇异值. 设 (sigma_1,cdots,sigma_n) 是 (Ain M_n) 的奇异值，由于 $mathrm{det}\, A^*A = (mathrm{det}\, A)^2= (sigma_1 cdots sigma_n)^2 $, 所以有 $sigma_1 cdots sigma_n = lvert mathrm{det} \, A
vert $; 显然也有 (mathrm{tr}\, A^*A=sigma_1^2+cdots + sigma_n^2).
应该知道什么
- 我们可以用相同的酉等价将任意两个给定的矩阵化为上三角型
- 尽管只有正规的方阵才可以用酉相似来使其对角化，任何复矩阵也可以用酉等价来对角化.