将学习到什么
介绍相合的定义以及其引出的标准型.
相合
定义 1： 设给定 (A,B in M_n)，如果存在一个非奇异的矩阵 (S)，使得
(a) (B=SAS^*)，那么就说 (B) 与 (A) 是 * 相合的（也称为星相合的或者共轭相合的）.
(b) (B=SAS^T)，那么就说 (B) 与 (A) 是 相合的，或者 (^T)相合的 （也称为 (T) 相合的）.
一个矩阵乘以非奇异矩阵不改变其秩的大小，所以相合的（ (\*) 相合的）矩阵具有同样的秩. 如果 (A) 是 Hermite 的，则 (SAS^*) 亦然，此结论即便当 (S) 为奇异时也成立；如果 (A) 是对称的，则 (SAS^T) 亦然，此结论即便当 (S) 为奇异时也仍然成立. 我们感兴趣的是保持矩阵类型不变的相合： (\*) 相合对 Hermite 矩阵以及 (^T) 相合对对称矩阵. 这两种类型的相合与相似共享一个重要的性质.
定理 1： (\*) 相合与相合都是等价关系
证明： 自反性：(A=IAI^*). 对称性：如果 (A=SBS^*) 并且 (S) 是非奇异的，那么 (B=S^{-1}A(S^{-1})^*). 传递性：如果 (A=S_1BS_1^*) 且 (B=S_2CS_2^*)，那么 (A=(S_1S_2)C(S_1S_2)^*). 对于 (^T) 相合，用同样的方式加以验证.
由相合得到的标准型
对于 (\*) 相合以及 (^T) 相合可以得到何种标准型呢？也就是说，如果将 (M_n) 分划成 (\*) 相合（(^T) 相合）的等价类，对于每一个等价类的标准代表元可以作何种选择呢？首先考虑简单的情形：在 (\*) 相合之下 Hermite 矩阵的标准型以及在 (^T) 相合之下复对称矩阵的标准型.
定义 2： 设 (A in M_n) 是 Hermite 的. (A) 的惯性指数是有序的三数组
egin{align}
i(A)=(i_+(A), quad i_-(A),quad i_0(A))
end{align}
其中 (i_+(A)) 是 (A) 的正的特征值的个数，(i_-(A)) 是 (A) 的负特征值的个数，而 (i_0(A)) 则是 (A) 的为零的特征值的个数. (A) 的符号差是量 (i_+(A)-i_-(A)).
由于 (A) 是 Hermite 的（正规的），则其可以酉对角化，对角元为特征值，所以 (mathrm{rank}\,A=i_+(A)+i_-(A)).
设 (A in M_n) 是 Hermite 矩阵，并记 (A=ULambda U^*)，其中 (Lambda=mathrm{diag}(lambda_1,cdots, lambda_n))，且 (U) 是酉矩阵. 为方便起见，假设正的特征值在 (Lambda) 的对角元素中首先出现，接下是负的特征值，最后是为零的特征值. 定义实的非奇异的对角矩阵
egin{align}
D=mathrm{diag} ( underbrace{ lambda_1^{1/2}, cdots, lambda_{i_+(A)}^{1/2}}_{i_+(A)\,\, ext{个元素}} ,underbrace{ ( lambda_{i_+(A)+1})^{1/2},cdots, ( lambda_{i_+(A)+i_-(A)})^{1/2} }_{i_-(A)\,\, ext{个元素}} ,underbrace{1, cdots , 1 }_{i_0(A)\,\, ext{个元素}} )
end{align}
那么 (Lambda = DI(A)D)，其中实矩阵
egin{align}
I(A)= I_{i_+(A)} oplus ( -I_{i_-(A)} oplus ) 0_{i_0(A)}
end{align}
就是 (A) 的惯性矩阵. 最后有 (A=ULambda U^*=UDI(A)DU^*=SI(A)S^*)，其中 (S=UD) 是非奇异的. 我们就证明了如下的定理.
定理 2： 每一个 Hermite 矩阵都与它的惯性矩阵 (\*) 相合.
同样地，可以证明：如果 (A in M_n(mathbb{R})) 是对称的，则 (A) 通过一个实矩阵与它的惯性矩阵相合.
惯性矩阵会成为 (\*) 相合于 (A) 的矩阵的等价类的一个非常好的标准代表，如果我们知道 (\*) 相合的 Hermite 矩阵有同样的惯性指数. 这就是下一个定理——Sylvester 惯性定律.
定理 3（Sylvester）： Hermite 矩阵 (A,B in M_n) 是 (\*) 相合的，当且仅当它们有相同的惯性指数，也就是说，当且仅当它们的正的特征值的个数以及负的特征值的个数相同.
证明： 由于 (A) 与 (B) 都 (\*) 相合于自己的惯性矩阵，故而如果它们有相同的惯性指数，那么它们必定是 (\*) 相合的. 反过来，假设 (S in M_n) 是非奇异的且 (A=SBS^*). 相合的矩阵有同样的秩，所以由此推出 (i_0(A)=i_0(B))，从而只要证明 (i_+(A)=i_+(B)) 就够了. 设 (v_1,v_2,cdots, v_{i_+(A)}) 是 (A) 的与正的特征值 (lambda_1(A),cdots, lambda_{i_+(A)}) 相伴的标准正交的特征向量，又设 (S_+(A)=mathrm{span} {v_1,v_2,cdots, v_{i_+(A)}}). 如果 (x=alpha_1v_1+cdots + alpha_{i_+(A)}v_{i_+(A)}
eq 0)，那么 (x^*Ax=lambda_1(A) lvert alpha_1
vert ^2 + cdots + lambda_{i_+(A)}(A) lvert alpha_{i_+(A)}
vert ^2 >0)；即对子空间 (S_+(A)) 中所有非零的 (x) 都有 (x^*Ax >0). 子空间 (S^*S_+(A)= { y:\,\,y=S^*x \, ext{且}\, x in S_+(A) }) 也有维数 (i_+(A)). 如果 (y=S^*x
eq 0) 且 (x in S_+(A))，那么 (y^*By=x^*(SBS^*)x=x^*Ax >0)，所以 (i_+(B) geqslant i_+(A)). 在上面的推理过程中将 (A) 与 (B) 倒过来，就会推出 (i_+(A) geqslant i_+(B)). 所以 (i_+(A) = i_+(B)).
由上面的定理可得出：Hermite 矩阵 (Ain M_n) 与单位矩阵 (\*) 相合，当且仅当它是正定的.
一个 Hermite 矩阵的按照非增次序排列的特征值各自的符号在 (\*) 相合之下不变，但是它们的大小可以改变. 大小改变的界限范围在如下定量形式的 Sylvester 定理中给出.
定理 4（Ostrowski）： 设 (A,S in M_n)，其中 (A) 是 Hermite 的，而 (S) 是非奇异的. 设 (A)，(SAS^*) 以及 (SS^*) 的特征值都按照非减的次序排列. 设 $sigma_1 geqslant cdots geqslant sigma_n >0 $ 是 (S) 的奇异值. 对每个 (k=1,cdots, n). 存在一个正实数 ( heta_k in [sigma_n^2, sigma_1^2])，使得
egin{align}
lambda_k(SAS^*) = heta_klambda_k(A)
end{align}
如果在 Ostrowski 定理中有 (A=Iin M_n)，那么所有 (lambda_k(A)=1) 且 ( heta_k=lambda_k(SS^*)=sigma_{n-k+1}). 如果 (Sin M_n) 是酉矩阵，那么 (sigma_1=sigma_n=1) 且所有 ( heta_k=1)，这就表示特征值在酉相似下的不变性.
定理 5： 设 (A,B in M_n) 是对称的. 则存在一个非奇异的 (S in M_n)，使得 (A=SBS^T) 的充分必要条件是 (mathrm{rank}\,A=mathrm{rank}\,B).
定义 3： 矩阵 (A in M_n) 称为可共轭对角化的，如果存在一个非奇异的 (S in M_n) 以及一个对角矩阵 (Lambda in M_n)，使得 (A=SLambda ar{S}^{-1}).
应该知道什么
- (\*) 相合与相合都是等价关系
- 每一个 Hermite 矩阵都与它的惯性矩阵 (\*) 相合
- 每一个实对称矩阵通过一个实矩阵与它的惯性矩阵相合
- （Sylvester 惯性定律）Hermite 矩阵 (A,B in M_n) 是 (\*) 相合的，当且仅当它们有相同的惯性指数