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  • 【面试】求数组子序列的最大和

    【面试】求数组子序列的最大和

    一、问题描述

    输入一个整形数组,数组里可以有正数或负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组,每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)

           例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5,和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2,因此输出为该子数组的和18。

    第一次遇到这道题是参加x迅的笔试。题目中给出了两种解法,让填空。

    二、简单解

    拿到这道题,如果不考虑性能和复杂度,最简单的方法就是穷举。穷举出所有的子数组,并求出他们的和,返回最大值。不过,复杂度为O(n3),不符合题目的要求(复杂度On)

    复制代码
    int max_sum(int *arr, int len){  
        int max, sum;  
      
        for(int i = 0; i < len; i++) {  
            for(int j = i; j < len; j++) {  
                sum = 0;  
                for(int k = i; k <= j; k++) {  
                    sum = sum + arr[k];  
                    if(sum > max) {  
                        max = sum;  
                    }  
                }  
            }  
        }  
      
        if(max == 0) {  
            return max(arr, len);  
        }  
        return max;  
    }  
    复制代码

     

    三、复杂度为N2的解

     

    观察上面的代码,我们使用了3个for循环。其中最内侧的for循环主要是控制每个字序列的长度,由于我们在计算的过程中,已经保存了当前最大字序列和,字序列的长度N对我们来说意义不大,因此完全可以撤消最内侧的循环。只按每个字序列起始位置来计算最大和。这样得到一个复杂度为N2的解。

    复制代码
    int max_sum2(int *arr, int len){  
        int sum, max = 0;  
      
        for(int i = 0; i < len; i++) {  
            sum = 0;  
            for(int j = i; j < len; j++) {  
                sum = sum + arr[j];  
                if(max < sum) {  
                    max = sum;  
                }  
            }  
        }  
      
        if(max == 0) {  
            return max(arr, len);  
        }  
          
        return max;  
    }  
    复制代码

     

    四、更低复杂度的探索

     
    至此,我们已经得到一个复杂度为N2的解法。那么有没有更低复杂度的算法呢?在N2的算法中,我们遍历了从0到len-1开始的字序列,求出每种情况下得到的最大字序列和。那么我们有没有可能去掉这个循环呢?考虑使用动态规划的思想,记max_sum[i]为从0到i的子序列的最大和,那么可以得到递推式:
     
    if max_sum[i] > 0    
    then    
           if arr[i+1] > 0    
           then max_sum[i+1] = max_sum[i] + arr[i+1];    
    else    
           max_sum[i+1] = max(0, arr[i+1])   

    利用这种思路得到一个线性时间的解答:

    复制代码
    int max_sum3(int *arr, int len) {  
        int sum, max;  
      
        max = sum = 0;  
        for(int i = 0; i < len; i++) {  
            sum += arr[i];  
            if(sum < 0) {  
                sum = 0;  
            }  
      
            if(sum > max){  
                max = sum;  
            }  
        }  
      
        if(max == 0) {  
            return max(arr, len);  
        }  
        return max;  
    }  
    复制代码

    至此,我们得到一个时间复杂度On,空间复杂度O1的解。

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