网络流总结

网络流总结

两个板子

【模板】最大流

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 1000000000
const int _ = 100005;
struct edge{int to,next,w;}a[_<<1];
int n,m,s,t,head[_],cnt=1,cur[_],dep[_],ans;
queue<int>Q;
int gi()
{a
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
void link(int u,int v,int w)
{
	a[++cnt]=(edge){v,head[u],w};
	head[u]=cnt;
	a[++cnt]=(edge){u,head[v],w};
	head[v]=cnt; 
}
int bfs()
{
	memset(dep,0,sizeof(dep));
	Q.push(s);dep[s]=1;
	while (!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
			if (!dep[a[e].to]&&a[e].w)
				dep[a[e].to]=dep[u]+1,Q.push(a[e].to);
	}
	return dep[t];
}
int dfs(int u,int flow)
{
	if (u==t)
		return flow;
	for (int &e=cur[u];e;e=a[e].next)
		if (dep[a[e].to]==dep[u]+1&&a[e].w)
		{
			int temp=dfs(a[e].to,min(a[e].w,flow));
			if (temp) {a[e].w-=temp;a[e^1].w+=temp;return temp;}
		}
	return 0;
}
int main()
{
	n=gi();m=gi();
	/*
	    中间是建边的过程
	*/
	while (bfs())
	{
		for (int i=1;i<=n;i++) cur[i]=head[i];
		while (int temp=dfs(s,inf)) ans+=temp;
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

【模板】最小费用最大流

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 1000000000
const int _ = 100005;
struct edge{int to,next,w,cost;}a[_<<1];
int n,m,s,t,head[_],cnt=1,dis[_],vis[_],pe[_],ans;
queue<int>Q;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
void link(int u,int v,int w,int cost)
{
	a[++cnt]=(edge){v,head[u],w,cost};
	head[u]=cnt;
	a[++cnt]=(edge){u,head[v],0,-cost};
	head[v]=cnt;
}
bool spfa()
{
	memset(dis,63,sizeof(dis));
	dis[s]=0;Q.push(s);
	while (!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
		{
			int v=a[e].to;
			if (a[e].w&&dis[v]>dis[u]+a[e].cost)
			{
				dis[v]=dis[u]+a[e].cost;pe[v]=e;
				if (!vis[v]) vis[v]=1,Q.push(v);
			}
		}
		vis[u]=0;
	}
	if (dis[t]<dis[0]) return false;
        int sum=inf;
	for (int i=t;i!=s;i=a[pe[i]^1].to)
		sum=min(sum,a[pe[i]].w);
	ans+=sum*dis[t];
	for (int i=t;i!=s;i=a[pe[i]^1].to)
		a[pe[i]].w-=sum,a[pe[i]^1].w+=sum;
}
int main()
{
	n=gi();m=gi();
	/*
	    中间是建边的过程
	*/
	while (spfa()) ;
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

技巧总结

单点限流量

拆点，每个点拆成出点和入点，连边的时候从出点连向入点。

连续转移问题

也就是说状态会持续转移，从一个点到一个点再到另一个点。经典例题https://www.luogu.org/problemnew/show/1251餐巾计划问题（网络流24题10）
我们换个方式理解，因为每个点通过的流量是限制了的，所以可以认为每个点都是源点，也都是汇点。拆成两个点，s向每个“源点”连一条容量为指定数量的边，每个“汇点”向t同样连一条容量为指定数量的边，然后就是最小费用流了。

最大收益问题

最大收益不好转化为最大流，但转化为最小割又出现了矛盾。这里转化一下思想，其实求最大收益，就是求最小损失。我们先假设所有能赚到的收益都赚到了，然后就是最小化自己的损失。
同样以一道题来讲。https://www.luogu.org/problemnew/show/P2762太空飞行计划问题（网络流24题2）
我们要选择一些实验并购买一些实验所需仪器，使总利润最大。如果不转化模型的话，既赚钱又花钱就很难处理。我们先假设我们已经拿到了所有的实验利润，通过最小割问题求解。

最小费用流，要求费用最小的同时经过的边最少

费用全部乘一个大于边数的数字，然后每条边费用加1

最小费用流判断某一条边是否无论在哪种最优策略中都会被选到

在残余网络上跑spfa，若一条边的前后两个点的dis的差值不是边权，就说明上述条件成立。