[BZOJ3130][SDOI2013]费用流

Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。
对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
1 2 10
2 3 15

Sample Output

10
10.0000

样例说明

对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用为：100.5+100.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

数据规模和约定

对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。
对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

题解

这道题肯定不是考费用流。
直观感受一下，如果我是Bob，我一定会把P全部放在网络中流量最大的那条边上。
所以这题其实就是说，Bob每次一定会把P全部压在你构造的网络中流量最大的边上，所以你就要使得网络中流量最大的边上流量最小。所以就二分最大值，跑一遍dinic判断解是否可行就行了。
注意实数dinic的eps

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const double inf = 1e9;
const double eps = 1e-9;
const int N = 105;
const int M = 1005;
struct edge{int to,next;double cap,w;}a[M<<1];
int n,m,head[N],cnt=1,dep[N],cur[N];
double p,maxflow;
queue<int>Q;
void link(int u,int v,double w)
{
	a[++cnt]=(edge){v,head[u],w,w};
	head[u]=cnt;
	a[++cnt]=(edge){u,head[v],0,0};
	head[v]=cnt;
}
bool bfs()
{
	memset(dep,0,sizeof(dep));
	dep[1]=1;Q.push(1);
	while (!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
			if (a[e].w>eps&&!dep[a[e].to])
				dep[a[e].to]=dep[u]+1,Q.push(a[e].to);
	}
	return dep[n];
}
double dfs(int u,double flow)
{
	if (u==n)
		return flow;
	for (int &e=cur[u];e;e=a[e].next)
		if (a[e].w>eps&&dep[a[e].to]==dep[u]+1)
		{
			double temp=dfs(a[e].to,min(flow,a[e].w));
			if (temp>eps) {a[e].w-=temp;a[e^1].w+=temp;return temp;}
		}
	return 0;
}
double Dinic()
{
	double res=0;
	while (bfs())
	{
		for (int i=1;i<=n;i++) cur[i]=head[i];
		while (1)
		{
			double temp=dfs(1,inf);
			if (temp<eps) break;
			res+=temp;
		}
	}
	return res;
}
bool check(double mid)
{
	for (int e=2;e<=cnt;e++)
		a[e].w=min(a[e].cap,mid);
	double flow=Dinic();
	return maxflow-flow<eps;
}
int main()
{
	scanf("%d %d %lf",&n,&m,&p);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;double w;
		scanf("%d %d %lf",&u,&v,&w);
		link(u,v,w);
	}
	maxflow=Dinic();
	double l=0,r=50000;
	while (r-l>eps)
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if (check(mid)) r=mid;
		else l=mid;
	}
	printf("%.0lf
%.5lf
",maxflow,l*p);
	return 0;
}