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  • 高斯消元总结

    这个东西很简单的,保证你一看就懂
    我们现在有n个n元方程,每个形如

    [a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=c ]

    我们要解这个方程组

    我们运用初中数学里面学的加减消元的方法
    我们先拿第一个方程,把剩下的n-1个方程里面的(x_1)的系数全部消掉
    然后剩下的n-1个方程就都没有(x_1)项了(或者说是前面的系数变成了0)
    接着拿第二个方程,把剩下n-2个方程里面的(x_2)的系数全部消掉
    然后剩下的n-2个方程就都没有(x_2)项了
    以此类推。。。
    最终会被消成一个倒三角(形象地来想,如果你把系数和常数项看作是一个(n*(n+1))的矩阵的话,那么消完以后,矩阵的正对角线下方的数会全部变成0)
    或者这么讲吧,消完之后,第i个方程的(x_1)(x_{i-1})的系数会全部变成0
    (应该不难理解吧)
    这时我们发现,第n个方程只剩下(x_n)了,即(a_nx_n=c_n)。所以我们就把它解出来,然后依次往上代入,就可以求解所有的n个(x)值了。

    这里给出洛谷的模板题【模板】高斯消元法
    以下代码中包含判非唯一解的方法,请读者自行思考。

    code

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N = 105;
    int n;
    double a[N][N],x[N];
    int main()
    {
    	scanf("%d",&n);
    	for (int i=1;i<=n;i++)
    		for (int j=1;j<=n+1;j++)
    			scanf("%lf",&a[i][j]);
    	for (int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		if (a[i][i]==0) return puts("No Solution"),0;
    		for (int j=i+1;j<=n;j++)
    			for (int k=n+1;k>=i;k--)
    				a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i]/a[i][i];
    	}
    	for (int i=n;i;i--)
    	{
    		x[i]=a[i][n+1];
    		for (int j=n;j>i;j--) x[i]-=a[i][j]*x[j];
    		x[i]/=a[i][i];
    	}
    	for (int i=1;i<=n;i++)
    		printf("%.2lf
    ",x[i]);
    	return 0;
    }
    
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