description
对于(xin[1,n])求(x)点强联通竞赛图中的哈密顿回路的期望个数膜(998244353)。
(nle10^5)
sol
首先(n)点竞赛图中的哈密顿回路总共有(frac{n!2^{inom n2-n}}{n})条。
（本质不同的有(frac{n!}{n})条，每条都存在于(2^{inom n2-n})个图内）
所以问题在于如何求(n)点强联通竞赛图的个数。
考虑一个(O(n^2))的(dp)，设(f_i)表示(i)个点的强联通竞赛图个数。
同时设(g_i)表示(i)个点的竞赛图个数，显然(g_i=2^{inom n2})。
转移时枚举拓扑序最小的强联通分量的大小。
[f_i=g_i-sum_{j=1}^{i-1}f_j imesinom ij imes g_{i-j}
]
然后用分治(FFT)可以做到两只(log)。
这里讲一种生成函数的做法。
把转移式移项可得：
[g_i=sum_{j=1}^{i}f_j imes inom ij imes g_{i-j}
]
两边同除以(i!)：
[frac{g_i}{i!}=sum_{j=1}^{i}frac{f_j}{j!} imesfrac{g_{i-j}}{(i-j)!}
]
令：(F(x)=sum_{i=0}^{n}frac{f_i}{i!}x^i,G(x)=sum_{i=0}^{n}frac{g_i}{i!}x^i,C(x)=sum_{i=1}^{n}frac{g_i}{i!}x^i)
（注意(G(x))和(C(x))的区别）
那么(F(x)G(x)=C(x))，所以(F(x)=frac{C(x)}{G(x)})
多项式求逆即可，复杂度(O(nlog n))。
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 8e5+5;
const int mod = 998244353;
int n,jc[N],jcn[N],f[N],g[N],h[N],rev[N],og[N];
int fastpow(int a,int b){
int res=1;
while (b) {if (b&1) res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
return res;
}
void ntt(int *P,int opt,int len){
int l=0;while((1<<l)<len)++l;--l;
for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
for (int i=0;i<len;++i) if (i<rev[i]) swap(P[i],P[rev[i]]);
for (int i=1;i<len;i<<=1){
int W=fastpow(3,(mod-1)/(i<<1));
if (opt==-1) W=fastpow(W,mod-2);
og[0]=1;for (int j=1;j<i;++j) og[j]=1ll*og[j-1]*W%mod;
for (int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)
for (int k=0;k<i;++k){
int x=P[j+k],y=1ll*og[k]*P[j+k+i]%mod;
P[j+k]=(x+y)%mod,P[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
}
}
if (opt==-1) for (int i=0,Inv=fastpow(len,mod-2);i<len;++i) P[i]=1ll*P[i]*Inv%mod;
}
int A[N],B[N];
void GetInv(int *a,int *b,int len){
if (len==1) {b[0]=fastpow(a[0],mod-2);return;}
GetInv(a,b,len>>1);
for (int i=0;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
ntt(A,1,len<<1);ntt(B,1,len<<1);
for (int i=0;i<(len<<1);++i) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod*B[i]%mod;
ntt(A,-1,len<<1);
for (int i=0;i<len;++i) b[i]=((b[i]+b[i])%mod-A[i]+mod)%mod;
for (int i=0;i<(len<<1);++i) A[i]=B[i]=0;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
jc[0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;
jcn[n]=fastpow(jc[n],mod-2);
for (int i=n;i;--i) jcn[i-1]=1ll*jcn[i]*i%mod;
int len=1;while (len<=(n<<1)) len<<=1;
for (int i=0;i<=n;++i) f[i]=h[i]=1ll*fastpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*jcn[i]%mod;
GetInv(f,g,len);
for (int i=n+1;i<len;++i) f[i]=g[i]=0;h[0]=0;
ntt(g,1,len);ntt(h,1,len);
for (int i=0;i<len;++i) g[i]=1ll*g[i]*h[i]%mod;
ntt(g,-1,len);printf("1
-1
");
for (int i=3;i<=n;++i){
g[i]=1ll*g[i]*jc[i]%mod;
int res=1ll*jc[i]*fastpow(2,(1ll*i*(i-1)/2-i)%(mod-1))%mod*fastpow(i,mod-2)%mod;
printf("%d
",1ll*res*fastpow(g[i],mod-2)%mod);
}
return 0;
}