关于二叉树
二叉树作为树的一种，是一种重要的数据结构，也是面试官经常考的东西。昨天看了一下关于树中的面试题，发现二叉树中的面试题比较常见的题型大概有下面几个：创建一颗二叉树（先序，中序，后序）、遍历一颗二叉树（先序，中序，后序和层次遍历）、求二叉树中叶子节点的个数、求二叉树的高度、求二叉树中两个节点的最近公共祖先、打印和为某一值的全部路径、求某一节点是否在一个树中等等。
再详细的说这些面试题之前，不妨先看一下几种常见的二叉树：
完全二叉树：若二叉树的高度是h，除第h层之外，其他（1~h-1）层的节点数都达到了最大个数，并且第h层的节点都连续的集中在最左边。想到点什么没？实际上，完全二叉树和堆联系比较紧密哈~~~
满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有节点都有两个子节点，最后一层都是叶子节点。
哈夫曼树：又称为最有数，这是一种带权路径长度最短的树。哈夫曼编码就是哈夫曼树的应用。
平衡二叉树：所谓平衡二叉树指的是，左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
红黑树：红黑树是每个节点都带颜色的树，节点颜色或是红色或是黑色，红黑树是一种查找树。红黑树有一个重要的性质，从根节点到叶子节点的最长的路径不多于最短的路径的长度的两倍。对于红黑树，插入，删除，查找的复杂度都是O（log N）。
二叉树中的那些面试题
再具体说二叉树中的那些面试题之前，我们先看一下二叉树中的每个节点是什么样的，以及为了完成这些面试题，二叉树中声明的函数原型是什么样的：
二叉树的节点：BinTreeNode
1 //二叉树的节点类
2 class BinTreeNode
3 {
4 private:
5 int data;
6 BinTreeNode *left,*right;
7 public:
8 //利用初始化列表完成data，left，rightn的初始化
9 BinTreeNode(const int &item,BinTreeNode *lPtr = NULL,BinTreeNode *rPtr = NULL):data(item) ,left(lPtr),right(rPtr){};
10 void set_data(int item)
11 {
12 data = item;
13 }
14 int get_data()const
15 {
16 return data;
17 }
18 void set_left(BinTreeNode *l)
19 {
20 left = l;
21 }
22 BinTreeNode* get_left()const
23 {
24 return left;
25 }
26 void set_right(BinTreeNode *r)
27 {
28 right = r;
29 }
30 BinTreeNode* get_right()const
31 {
32 return right;
33 }
34 };
二叉树原型：BinTree，其中包含了这篇文章中要完成的函数原型的完整声明。
1 //二叉树
2 class BinTree
3 {
4 private:
5 BinTreeNode *root;
6 public:
7 BinTree(BinTreeNode *t = NULL):root(t){};
8 ~BinTree(){delete root;};
9 void set_root(BinTreeNode *t)
10 {
11 root = t;
12 }
13 BinTreeNode* get_root()const
14 {
15 return root;
16 }
17 //1.创建二叉树
18 BinTreeNode* create_tree();
19 //2.前序遍历
20 void pre_order(BinTreeNode *r)const;
21 //3.中序遍历
22 void in_order(BinTreeNode *r)const;
23 //4.后序遍历
24 void post_order(BinTreeNode *r)const;
25 //5.层次遍历
26 void level_order(BinTreeNode *r)const;
27 //6.获得叶子节点的个数
28 int get_leaf_num(BinTreeNode *r)const;
29 //7.获得二叉树的高度
30 int get_tree_height(BinTreeNode *r)const;
31 //8.交换二叉树的左右儿子
32 void swap_left_right(BinTreeNode *r);
33 //9.求两个节点pNode1和pNode2在以r为树根的树中的最近公共祖先
34 BinTreeNode* get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const;
35 //10.打印和为某一值的所有路径
36 void print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const;
37 //11.判断一个节点t是否在以r为根的子树中
38 bool is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const;
39 };
2.1 创建一颗二叉树
创建一颗二叉树，可以创建先序二叉树，中序二叉树，后序二叉树。我们在创建的时候为了方便，不妨用‘#’表示空节点，这时如果先序序列是：6 4 2 3 # # # # 5 1 # # 7 # #，那么创建的二叉树如下：
下面是创建二叉树的完整代码：穿件一颗二叉树，返回二叉树的根。
1 //创建二叉树，这里不妨使用前序创建二叉树，遇到‘#’表示节点为空
2 BinTreeNode* BinTree::create_tree()
3 {
4 char item;
5 BinTreeNode *t,*t_l,*t_r;
6 cin>>item;
7 if(item != '#')
8 {
9 BinTreeNode *pTmpNode = new BinTreeNode(item-48);
10 t = pTmpNode;
11 t_l = create_tree();
12 t->set_left(t_l);
13 t_r = create_tree();
14 t->set_right(t_r);
15 return t;
16 }
17 else
18 {
19 t = NULL;
20 return t;
21 }
22 }
2.2 二叉树的遍历
二叉树的遍历分为：先序遍历，中序遍历和后序遍历，这三种遍历的写法是很相似的，利用递归程序完成也是灰常简单的：
1 //前序遍历
2 void BinTree::pre_order(BinTreeNode *r)const
3 {
4 BinTreeNode *pTmpNode = r;
5 if(pTmpNode != NULL)
6 {
7 cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
8 pre_order(pTmpNode->get_left());
9 pre_order(pTmpNode->get_right());
10 }
11 }
12 //中序遍历
13 void BinTree::in_order(BinTreeNode *r)const
14 {
15 BinTreeNode *pTmpNode = r;
16 if(pTmpNode != NULL)
17 {
18 in_order(pTmpNode->get_left());
19 cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
20 in_order(pTmpNode->get_right());
21 }
22 }
23 //后序遍历
24 void BinTree::post_order(BinTreeNode *r)const
25 {
26 BinTreeNode *pTmpNode = r;
27 if(pTmpNode != NULL)
28 {
29 post_order(pTmpNode->get_left());
30 post_order(pTmpNode->get_right());
31 cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
32 }
33 }
2.3 层次遍历
层次遍历也是二叉树遍历的一种方式，二叉树的层次遍历更像是一种广度优先搜索（BFS）。因此二叉树的层次遍历利用队列来完成是最好不过啦，当然不是说利用别的数据结构不能完成。
1 //层次遍历
2 void BinTree::level_order(BinTreeNode *r)const
3 {
4 if(r == NULL)
5 return;
6 deque<BinTreeNode*> q;
7 q.push_back(r);
8 while(!q.empty())
9 {
10 BinTreeNode *pTmpNode = q.front();
11 cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
12 q.pop_front();
13 if(pTmpNode->get_left() != NULL)
14 {
15 q.push_back(pTmpNode->get_left());
16 }
17 if(pTmpNode->get_right() != NULL)
18 {
19 q.push_back(pTmpNode->get_right());
20 }
21 }
22 }
2.4 求二叉树中叶子节点的个数
树中的叶子节点的个数 = 左子树中叶子节点的个数 + 右子树中叶子节点的个数。利用递归代码也是相当的简单，易懂。
1 //获取叶子节点的个数
2 int BinTree::get_leaf_num(BinTreeNode *r)const
3 {
4 if(r == NULL)//该节点是空节点，比如建树时候用'#'表示
5 {
6 return 0;
7 }
8 if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//该节点并不是空的，但是没有孩子节点
9 {
10 return 1;
11 }
12 //递归整个树的叶子节点个数 = 左子树叶子节点的个数 + 右子树叶子节点的个数
13 return get_leaf_num(r->get_left()) + get_leaf_num(r->get_right());
14 }
2.5 求二叉树的高度
求二叉树的高度也是非常简单，不用多说：树的高度 = max(左子树的高度，右子树的高度) + 1 。
1 //获得二叉树的高度
2 int BinTree::get_tree_height(BinTreeNode *r)const
3 {
4 if(r == NULL)//节点本身为空
5 {
6 return 0;
7 }
8 if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//叶子节点
9 {
10 return 1;
11 }
12 int l_height = get_tree_height(r->get_left());
13 int r_height = get_tree_height(r->get_right());
14 return l_height >= r_height ? l_height + 1 : r_height + 1;
15 }
2.6 交换二叉树的左右儿子
交换二叉树的左右儿子，可以先交换根节点的左右儿子节点，然后递归以左右儿子节点为根节点继续进行交换。树中的操作有先天的递归性。。
1 //交换二叉树的左右儿子
2 void BinTree::swap_left_right(BinTreeNode *r)
3 {
4 if(r == NULL)
5 {
6 return;
7 }
8 BinTreeNode *pTmpNode = r->get_left();
9 r->set_left(r->get_right());
10 r->set_right(pTmpNode);
11 swap_left_right(r->get_left());
12 swap_left_right(r->get_right());
13 }
2.7 判断一个节点是否在一颗子树中
可以和当前根节点相等，也可以在左子树或者右子树中。
1 //判断一个节点t是否在以r为根的子树中
2 bool BinTree::is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const
3 {
4 if(r == NULL)
5 {
6 return false;
7 }
8 else if(r == t)
9 {
10 return true;
11 }
12 else
13 {
14 bool has = false;
15 if(r->get_left() != NULL)
16 {
17 has = is_in_tree(r->get_left(),t);
18 }
19 if(!has && r->get_right()!= NULL)
20 {
21 has = is_in_tree(r->get_right(),t);
22 }
23 return has;
24 }
25 }
2.8 求两个节点的最近公共祖先
求两个节点的公共祖先可以用到上面的：判断一个节点是否在一颗子树中。（1）如果两个节点同时在根节点的右子树中，则最近公共祖先一定在根节点的右子树中。（2）如果两个节点同时在根节点的左子树中，则最近公共祖先一定在根节点的左子树中。（3）如果两个节点一个在根节点的右子树中，一个在根节点的左子树中，则最近公共祖先一定是根节点。当然，要注意的是：可能一个节点pNode1在以另一个节点pNode2为根的子树中，这时pNode2就是这两个节点的最近公共祖先了。显然这也是一个递归的过程啦：
1 //求两个节点的最近公共祖先
2 BinTreeNode* BinTree::get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const
3 {
4 //pNode2在以pNode1为根的子树中（每次递归都要判断，放在这里不是很好。）
5 if(is_in_tree(pNode1,pNode2))
6 {
7 return pNode1;
8 }
9 //pNode1在以pNode2为根的子树中
10 if(is_in_tree(pNode2,pNode1))
11 {
12 return pNode2;
13 }
14 bool one_in_left,one_in_right,another_in_left,another_in_right;
15 one_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode1);
16 another_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode2);
17 another_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode2);
18 one_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode1);
19 if((one_in_left && another_in_right) || (one_in_right && another_in_left))
20 {
21 return r;
22 }
23 else if(one_in_left && another_in_left)
24 {
25 return get_nearest_common_father(r->get_left(),pNode1,pNode2);
26 }
27 else if(one_in_right && another_in_right)
28 {
29 return get_nearest_common_father(r->get_right(),pNode1,pNode2);
30 }
31 else
32 {
33 return NULL;
34 }
35 }
可以看到这种做法，进行了大量的重复搜素，其实有另外一种做法，那就是存储找到这两个节点的过程中经过的所有节点到两个容器中，然后遍历这两个容器，第一个不同的节点的父节点就是我们要找的节点啦。 实际上这还是采用了空间换时间的方法。
2.9 从根节点开始找到所有路径，使得路径上的节点值和为某一数值（路径不一定以叶子节点结束）
这道题要找到所有的路径，显然是用深度优先搜索（DFS）啦。但是我们发现DFS所用的栈和输出路径所用的栈应该不是一个栈，栈中的数据是相反的。看看代码：注意使用的两个栈。
1 //注意这两个栈的使用
2 stack<BinTreeNode *>dfs_s;
3 stack<BinTreeNode *>print_s;
4 //打印出从r开始的和为sum的所有路径
5 void BinTree::print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const
6 {
7 if(r == NULL)
8 {
9 return;
10 }
11 //入栈
12 sum -= r->get_data();
13 dfs_s.push(r);
14 if(sum <= 0)
15 {
16 if(sum == 0)
17 {
18 while(!dfs_s.empty())
19 {
20 print_s.push(dfs_s.top());
21 dfs_s.pop();
22 }
23 while(!print_s.empty())
24 {
25 cout<<print_s.top()->get_data()<<" ";
26 dfs_s.push(print_s.top());
27 print_s.pop();
28 }
29 cout<<endl;
30 }
31 sum += r->get_data();
32 dfs_s.pop();
33 return;
34 }
35 //递归进入左子树
36 print_rout(r->get_left(),sum);
37 //递归进入右子树
38 print_rout(r->get_right(),sum);
39 //出栈
40 sum += r->get_data();
41 dfs_s.pop();
42 }
最后，给出一点测试代码：
1 int main()
2 {
3 BinTree tree;
4 /*--------------------------------------------------------------------------*/
5 cout<<"请输入二叉树前序序列进行建树，'#'代表空节点："<<endl;
6 tree.set_root(tree.create_tree());
7 cout<<endl;
8 /*--------------------------------------------------------------------------*/
9 cout<<"前序遍历的结果：";
10 tree.pre_order(tree.get_root());
11 cout<<endl<<endl;
12 /*--------------------------------------------------------------------------*/
13 cout<<"中序遍历的结果：";
14 tree.in_order(tree.get_root());
15 cout<<endl<<endl;
16 /*--------------------------------------------------------------------------*/
17 cout<<"后序遍历的结果：";
18 tree.post_order(tree.get_root());
19 cout<<endl<<endl;
20 /*--------------------------------------------------------------------------*/
21 cout<<"层次遍历的结果：";
22 tree.level_order(tree.get_root());
23 cout<<endl<<endl;
24 /*--------------------------------------------------------------------------*/
25 cout<<"该二叉树叶子节点的个数：";
26 cout<<tree.get_leaf_num(tree.get_root())<<endl<<endl;
27 /*--------------------------------------------------------------------------*/
28 cout<<"该二叉树的高度是：";
29 cout<<tree.get_tree_height(tree.get_root())<<endl<<endl;
30 /*--------------------------------------------------------------------------*/
31 tree.swap_left_right(tree.get_root());
32 cout<<"交换左右子树之后的先序遍历结果为：";
33 tree.pre_order(tree.get_root());
34 cout<<endl<<endl;
35 /*--------------------------------------------------------------------------*/
36 BinTreeNode *p1 = tree.get_root()->get_left()->get_right();
37 BinTreeNode *p2 = tree.get_root()->get_left()->get_left();
38 BinTreeNode *p3 = tree.get_root()->get_right()->get_right()->get_right();
39 cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p2->get_data()<<"的最近公共祖先是：";
40 BinTreeNode *p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p2);
41 cout<<p->get_data()<<endl;
42 cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p3->get_data()<<"的最近公共祖先是：";
43 p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p3);
44 cout<<p->get_data()<<endl<<endl;
45 /*--------------------------------------------------------------------------*/
46 cout<<"路径如下："<<endl;
47 tree.print_rout(tree.get_root(),12);
48 return 0;
49 }
运行结果：
以上内容，只是本人看过的面试题目的一点总结，可能不够全，可能其中的代码也有很多的错误，可能其中的内容有点水，但是我想对那部分即将参加面试的应届毕业生还是有帮助的。。大神们勿喷~~