物体从高度为(H)处自由落下,撞击地面,假定没有能量损失,根据能量守恒定理,弹跳的高度一定还为(H).选地面为基准点,位移向上为正.则位移和时间的示意图如下所示(注意图只是为了说明问题,不是严格位移和时间的关系)
每次物体撞击地面后到下次撞击地面前看成一个周期.对于上图来讲,0时刻到1时刻单独考虑,从1时刻开始,1到3为一个周期,3到5为一个周期...假定周期为(T),加速度为(a),对于某一时刻(t)的位移,分下面2种情况讨论:
(0<t<frac12T)
物体做初速度为0的匀加速运动,时间和位移的关系为:
[egin{equation}
s=H-frac12at^2
label{eq:1}
end{equation}
]
物体从最高点下落到最低点,在最低点时位移和时间的关系是:
[egin{equation}
-H=-frac12a(frac12T)^2
label{eq:2}
end{equation}
]
联立方程eqref{eq:1},eqref{eq:2}可得
[egin{equation}
s=H(1-frac{4t^2}{T^2})
label{eq:result1}
end{equation}
]
(t>=frac12T)
先对(t-0.5T)作模(T)的运算,设结果为(Delta)(t),从上次撞击地面到(Delta)(t)时刻物体是匀加速运动,时间和位移的公式是
[egin{equation}
s=v{Delta}t-frac12a{Delta}t^2
label{eq:3}
end{equation}
]
物体从最高点落下降到最低点,作初速度为0的匀加速运动,设末速度为(v),则在最低点时,加速度时间和速度的关系为:
[egin{equation}
v=afrac{T}2
label{eq:4}
end{equation}
]
联立方程eqref{eq:2},eqref{eq:3},eqref{eq:4}可得
[egin{equation}
s=frac{4H{Delta}t}{T^2}(T-{Delta}{t})
label{eq:Result2}
end{equation}
]