严格的数学定义
务必先认真研究参考资料1,否则后面的内容就不用看了.Jacobian在本质上是个行列式,在参考资料1下引出Jacobian式是为了解决方程组定义的隐函数求导问题.
程序设计上的约定
刚才已经明确,从严格的数学定义上讲,求导或者求偏导只有函数对自变量而言,其余任务情况,从数学上讲都是错的.但是很多机器学习的资料和开源库都涉及到标量对向量求导.比如下面这个pytorch的例子.
import torch
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0], requires_grad=True)
y = x ** 2 + 2
z = torch.sum(y)
z.backward()
print(x.grad)
简单解释下,设(x=[x_1,x_2,x_3]),则
[egin{equation*}
z=x_1^2+x_2^2+x_3^2+6
end{equation*}
]
则
[egin{equation*}
frac{partial z}{partial x_1}=2x_1
end{equation*}
]
[egin{equation*}
frac{partial z}{partial x_2}=2x_2
end{equation*}
]
[egin{equation*}
frac{partial z}{partial x_3}=2x_3
end{equation*}
]
当将x_1=1.0,x_2=2.0,x_3=3.0代入就可以得到
[egin{equation*}
(frac{partial z}{partial x_1},frac{partial z}{partial x_1},frac{partial z}{partial x_1})=(2x_1,2x_2,2x_3)=(2.0,4.0,6.0)
end{equation*}
]
结果是和pytorch的输出是一样的.反过来想想,其实所谓的"标题对向量求导"本质上是函数对各个自变量求导,这里只是把各个自变量看成一个向量.和数学上的定义并不矛盾.
backward的gradient参数作用
现在有如下问题,已知
[egin{equation*}
y_1=x_1^2+2
end{equation*}
]
[egin{equation*}
y_2=x_2^2+2
end{equation*}
]
[egin{equation*}
y_3=x_3^2+2
end{equation*}
]
[egin{equation*}
A=f(y_1,y_2,y_3)
end{equation*}
]
其中函数(f(y_1,y_2,y_3))的具体定义未知,现在求
[egin{equation*}
frac{partial A}{partial x_1}=?
end{equation*}
]
[egin{equation*}
frac{partial A}{partial x_2}=?
end{equation*}
]
[egin{equation*}
frac{partial A}{partial x_3}=?
end{equation*}
]
根据参考资料1中讲的多元复合函数的求导法则.
[egin{equation*}
frac{partial A}{partial x_1}=frac{partial A}{partial y_1}frac{partial y_1}{partial x_1}+frac{partial A}{partial y_2}frac{partial y_2}{partial x_1}+frac{partial A}{partial y_3}frac{partial y_3}{partial x_1}
end{equation*}
]
[egin{equation*}
frac{partial A}{partial x_2}=frac{partial A}{partial y_1}frac{partial y_1}{partial x_2}+frac{partial A}{partial y_2}frac{partial y_2}{partial x_2}+frac{partial A}{partial y_3}frac{partial y_3}{partial x_2}
end{equation*}
]
[egin{equation*}
frac{partial A}{partial x_3}=frac{partial A}{partial y_1}frac{partial y_1}{partial x_3}+frac{partial A}{partial y_2}frac{partial y_2}{partial x_3}+frac{partial A}{partial y_3}frac{partial y_3}{partial x_3}
end{equation*}
]
上面3个等式可以写成矩阵相乘的形式.如下
[egin{equation}label{simple}
[frac{partial A}{partial x_1},frac{partial A}{partial x_2},frac{partial A}{partial x_3}]=
[frac{partial A}{partial y_1},frac{partial A}{partial y_2},frac{partial A}{partial y_3}]
left[
egin{matrix}
1 & 2 & 3 \
1 & 2 & 3 \
1 & 2 & 3
end{matrix}
ight]
end{equation}
]
参考资料
- 同济大学数学系,高等数学第七版下册,高等教育出版社,2015. p78-80,p88-91