SICP学习笔记（1.3.1）

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                                                    周银辉

1，高阶函数

从小学数数 1 2 3 4 5，所以当有一天老师告诉你，它们称之为“自然数”时，你的脸上便没有任何吃惊的表情，因为在你看来它们是那么的“自然”。同样的，如果你开始便是接触的是函数式编程（而不是大学C语言）的话，那么在这里提到高阶函数，你的表情也应该是非常淡然，而不是迷惑。
在命令式编程语言中，我们习惯于将数、变量、对象作为函数参数与返回值；同样地，在函数式语言中，我们同样习惯于将 函数 作为 另一函数的参数或返回值（也可以是自身的参数或返回值，如果是递归的话），我们将这种“以函数为参数或返回值的函数”称为“高阶函数”或“高阶过程”。由于在函数式语言中，你所遇到的一切均是函数，（比如数字 3，它是 λfx.f (f (f x)) 这样的函数，在1.3.2讲lambda和丘奇数的时候会说道这个东西），所以，将函数作为参数或返回值则是最正常不过的事情了，它是那么的“自然”。
更多的，关于高阶函数的定义可以参考这里：http://en.wikipedia.org/wiki/Higher-order_function

2，Currying 

这个应该放到1.3.2来说，但很奇怪的是，本节练习题1.33的最后一个小问却需要这个知识点，所以在这里简单提一下：Currying就是将拥有多个参数的函数化简成只有一个参数的形式。
比如在我们的印象中，假设我们需要这样定义两个数的求和运算: (define (add a b) (+ a b)) ， 这需要对add方法传入两个参数,比如 （add 2 3）； 如果我们只允许add 带一个参数，那应该怎么办呢？ 我们应该采用Currying这个技巧编写出下面的代码：
(define (add a)
  (lambda (b) (+ a b)))
此后，调用add方法就只需要传入一个参数了，比如 (((add 2) 3)
如果你还有所疑惑的话，不妨看看 Lambda calculus 以及 Continuation 的相关知识点。或者看看我接下来会写的“SICP学习笔记1.3.2”

3，练习1.29

用辛普森规则求积分，比较简单，基本上是将辛普森规则翻译成Scheme代码就可以了：

(define (sum term a next b)

  (if (> a b)

      0

      (+ (term a)

         (sum term (next a) next b))))

(define (cube a) (* a a a))

(define (F f a b n)

  (define h (/ (- b a) n))

  (define (y k) (f (+ a (* k h))))

  (define (term i)

    (+ (y (- (* 2 i) 2))

       (* 4 (y (- (* 2 i) 1)))

       (y (* 2 i))))

  (define (next i) (+ i 1))

  (/ (* h (sum term 1 next (/ n 2))) 3))

我用这段代码计算了一下几个值：
(F cube 0 1 10.0)
(F cube 0 1 100.0)
(F cube 0 1 1000.0)
(F cube 0 1 1000000.0)

运算结果：
0.25000000000000006
0.2500000000000001
0.2500000000000001
0.2499999999999972

4，练习1.30

先理解过程中各个参数的意思：
sum，求和运算
term，一个函数，（term a）就相当于数学中的F（a）
a，求和运算中自变量的起始点
b，求和运算中自变量的结束点
next，步进函数，即描述自变量如何从当前值步进到下一个值

OK，要完成这个练习，我们不妨先写一个专门针对连续整数的求和过程，也就是说，（terms a）的值为a，相当于数学中的f（x）= x ； 并且 （next n）为 n+1， 它的求和过程的尾递归版本如下：
(define (sum a b)
  (sum-iter a b 0))

(define (sum-iter a b c)
  (if (> a b)
      c
      (sum-iter (+ a 1) b (+ a c))))

关于如何建立该过程，请参考 SICP学习笔记（1.2.1 ~ 1.2.2） 中的“尾递归”节

那么按照上面的方式“依葫芦画瓢”，便可建立如下通用的求和版本：
(define (sum term a next b)
  (if (> a b)
      0
      (+ (term a)
         (sum term (next a) next b))))

(define (sum-iter term a next b cumulater)
  (if (> a b)
      cumulater
      (sum-iter term (next a) next b (+ (term a) cumulater))))

5，练习1.31

利用高阶函数求Pi（∏ ）

首先，按照求和的方法“依葫芦画瓢”，可以写出一下“求积”版本：
(define (product term a next b)
  (product-iter term a next b 1))

(define (product-iter term a next b cumulater)
  (if (> a b)
      cumulater
      (product-iter term (next a) next b (* (term a) cumulater))))

第n项的分子：
(define (den n)
  (cond ((= n 1) 2.0)
        ((even? n) (+ 2.0 n))
        (else (den (- n 1)))))

第n项的分母：
(define (num n)
  (cond ((even? n) (num (- n 1)))
        (else (+ n 2.0))))

第n项，函数F（n）：
(define (F n)
  (/ (den n) (num n)))

步进函数：
(define (increase a) (+ a 1))

然后就可以对pi求值了（我这里计算了前1亿项）：
(* 4.0 (product F 1 increase 100000000))

计算结果（大概花了一分钟）：
3.1415926692944294

6，练习1.32

没什么好说的，直接给的答案了：

(define (accumulate combiner null-value term a next b)

  (accumulate-iter combiner term a next b null-value))

(define (accumulate-iter combiner term a next b result)

  (if(> a b)

     result

     (accumulate-iter combiner term (next a) next b (combiner (term a) result))))

(define (F a) a)

(define (increase a) (+ a 1))

;为验证正确性，下面两个为测试函数
(accumulate + 0 F 1 increase 5)

(accumulate * 1 F 1 increase 5)

7，练习1.33

“过滤器”在2.2.3中会提到，这里可以简单地想象成一个检测装置：对于给定值a，如果满足给定条件condition，则返回值本身，否则返回空值 null-value，所以

;定义过滤器，这里我将其值打印出来了，以便看到过滤过程
(define (filter condition null-value a)
  (cond ((condition a) (begin (display a) (display "; ") a))
        (else null-value)))

;定义filtered-accumulate，其为练习1.32的accumulate增强版
(define (filtered-accumulate combiner null-value term a next b filter-condition)
  (accumulate-iter combiner term a next b null-value null-value filter-condition))

;定义filtered-accumulate的尾递归版本
(define (accumulate-iter combiner term a next b null-value result filter-condition)
  (if(> a b)
     result
     (accumulate-iter combiner term (next a) next b null-value
                      (combiner
                       (filter filter-condition null-value (term a)) result)
                      filter-condition)))

;定义素数检测函数
(define (prime? n)
  (= n (smallest-divisor n)))

(define (divides? a b)
  (= (remainder b a) 0))

(define (square a)
  (* a a))

(define (find-divisor n test-divisor)
  (cond ((> (square test-divisor) n) n)
        ((divides? test-divisor n) test-divisor)
        (else (find-divisor n (+ test-divisor 1)))))

(define (smallest-divisor n)
  (find-divisor n 2))

;定义小于N并且与N互素的检测函数
(define (gcd-n? n)
  (lambda(a)
      (and (< a n) (= (gcd a n) 1))))

;定义恒等函数 f(x)=x
(define (F a) a)

;定义增长率
(define (increase a) (+ a 1))

;计算1~100间的素数之和
(filtered-accumulate + 0 F 1 increase 100 prime?)

;计算小于100并且与100互素的正整数之乘积
(filtered-accumulate * 1 F 1 increase 100 (gcd-n? 100))

注意到上面定义的“小于N并且与N互素的检测函数”，其用到了我们上面所说的“currying”技巧，其仅仅带有一个参数n，如果我们按照常规的方式书写：
(define (gcd-n? n a)
  (and (< a n) (= (gcd a n) 1)))
其带了两个参数，我们很快就会发现你无法带入到我们的“过滤器”函数中：
(define (filter condition null-value a)
  (cond ((condition a) (begin (display a) (display "; ") a))
        (else null-value)))
因为（condition a）是只带一个参数的。

注：这是一篇读书笔记，所以其中的内容仅属个人理解而不代表SICP的观点，并随着理解的深入其中的内容可能会被修改