BZOJ4589 Hard Nim FWT 快速幂 博弈

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题目传送门 - BZOJ4589

题意

　　有 $n$ 堆石子，每一堆石子的取值为 $2$ ~ $m$ 之间的素数。

　　问在所有不同的取值中，先手必败的方案总数。

　　答案对 $10^9+7$ 取模。

　　$nleq 10^9,mleq 50000$

题解

　　第一次写 FWT 。

　　感觉 FWT 比 FFT 简单多了。

　　下面进入正题。

　　首先，我们再回顾一下 Nim游戏 中先手必败的情况：所有数的异或和为 $0$ 。具体证明自行百度，这里不加赘述。

　　我们构造一个多项式 $A$ ，如果 $i$ 为素数，那么 $A(i)=1$ ，否则 $A(i)=0$ 。

　　定义卷积如下形式：

$$C(k)=sum_{i XOR j=k} A(i)B(j)$$

　　于是我们看到，如果 $n=2$ ，那么答案为 $A^2(0)$ 。

　　类似地，原题答案为 $A^n(0)$ 。

　　注意一下上面的那个卷积式可以用 FWT 来做。

　　我们先 FWT 一下，类似于多项式点值相乘，异或卷积的“点值”也可以自己相乘，于是每一个值都直接取其 $n$ 次方，然后再 IFWT 一下就可以得到目标多项式了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<16,mod=1e9+7,inv2=(mod+1)/2;
int Pow(int x,int y){
	if (!y)
		return 1;
	int xx=Pow(x,y/2);
	xx=1LL*xx*xx%mod;
	if (y&1)
		xx=1LL*xx*x%mod;
	return xx;
}
bool check(int x){
	for (int i=2;i*i<=x;i++)
		if (x%i==0)
			return 0;
	return x>1;
}
int n,m,k,A[N];
void FWT(int a[],int n,int flag){
	for (int d=1;d<n;d<<=1)
		for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))
			for (int j=0;j<d;j++){
				int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
				a[i+j]=(x+y)%mod;
				a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;
				if (flag<0){
					a[i+j]=1LL*a[i+j]*inv2%mod;
					a[i+j+d]=1LL*a[i+j+d]*inv2%mod;
				}
			}
}
int main(){
	while (~scanf("%d%d",&k,&m)){
		for (n=1;n<=m;n<<=1);
		for (int i=0;i<n;i++)
			A[i]=(check(i)&&i<=m)?1:0;
		FWT(A,n,1);
		for (int i=0;i<n;i++)
			A[i]=Pow(A[i],k);
		FWT(A,n,-1);
		printf("%d
",A[0]);
	}
	return 0;
}