数论函数
\(f(n)\) 定义域为 \(N\) （正整数域），值域为 \(N\) 。
如 \(f(x)=x\) ， \(f(x)=x^2\) 。
积性函数
对于一个函数 \(f(x)\) ，如果 \(\forall a,b,\gcd(a,b)=1,ab=x,f(a)f(b)=f(x)\) ，则称 \(f\) 是积性函数。
证明约数和函数是积性函数：
考虑 \(a,b(\gcd(a,b)=1,ab=x)\) ，
则 \(f(a)f(b)=\sum \limits _{d|a}d \sum \limits _{p|b}p= \sum \limits _{d|a}\sum \limits _{p|b}dp\) 。
因为 \(\gcd(a,b)=1\) ，所以 \(\gcd(d,p)=1\) ，
所以 \(f(a)f(b)=\sum \limits _{d|a}d \sum \limits _{p|b}p=\sum \limits _{d|a}\sum \limits _{p|b}dp=\sum \limits _{(dp)|(ab)}dp\) 。
因为 \(ab=x\) ，令 \(t=dp\) ，
则 \(f(a)f(b)=\sum \limits _{t|x}t=f(x)\) 。
埃氏筛
for(int i=2;i<=n;i++)
if(p[i]) for(int j=2;i*j<=n;j++) p[i*j]=false;
线性筛
每个数被它的最小质因子筛掉。
bool co[N]={false,true};//coprime
int pn[N],cnt;//prime number
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!co[i]) pn[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
{
//pn[j]是i*pn[j]的最小质因子
if(i*pn[j]>n) break;
co[i*pn[j]]=true;
if(!(i%pn[j])) break;
//i=pn[j]*k
//如果继续枚举，pn[j+1]*i=pn[j+1]*pn[j]*k
//一定已经被 pn[j] 筛过了。
}
}
积性函数筛
给出 \(n\) ，求 \(f(1),f(2), \cdots ,f(n)\) 。其中 \(f(x)= \sum \limits _{d|x} d\) 。
bool co[N]={false,true};//coprime
int pn[N],f[N]={0,1},cnt;//prime number
int z[N];//z[i]表示p^c。其中p是i的最小质因子。p^c|i,p^{c+1} not|i
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!co[i])
{
pn[++cnt]=i;
f[i]=i+1,z[i]=i;
}
for(int j=1;j<=cnt;j++)
{
//pn[j]是i*pn[j]的最小质因子
if(i*pn[j]>n) break;
co[i*pn[j]]=true;
if(!(i%pn[j]))
{
int x=i*pn[j];
z[x]=z[i]*pn[j];
if(z[x]==x) f[x]=f[i]+x;
//x是pn[j]的幂。
//f[x]=1+pn[j]+pn[j]^2+...+pn[j]^k
//i=x/pn[j]
//f[i]=1+pn[j]+pn[j]^2+...+pn[j]^{k-1}
//f[x]=f[i]+pn[j]^k=f[i]+x
else f[x]=f[x/z[x]]*f[z[x]];
//i/pn[j]/pn[j]...
//f[i*pn[j]]=f[i]*f[pn[j]^k]
//pn[j]是i的最小质因子。
//如果继续枚举，pn[j]就不是i*pn[j]的最小质因子了。
break;
}
else
{
f[i*pn[j]]=f[i]*f[pn[j]];
z[i*pn[j]]=pn[j];
//i%pn[j]!=0->gcd(i,pn[j])==1
//pn[j]是i*pn[j]唯一的最小质因子。
}
}
}
三个要点：
1.质数的情况
2.\(i \perp p_j\) 的情况（\(a \perp b \Leftrightarrow \gcd(a,b)=1\)）
3.\(p_j\) 是 \(i\) 的最小质因子的情况
欧拉函数
\(\varphi(n)\) 表示 \(1\) 到 \(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。
即 \(\varphi(n)=\sum \limits _{i=1}^n [i \perp n]\) 。
求 \(\varphi(n)\) :
根据整数唯一分解定理，设 \(n=\prod \limits _{i=1}^k p_i^{c_i}\) ( \(p_i\) 是质数)，
则 \(\varphi(n)=n \prod \limits _{i=1}^k \left (1- \frac{1}{p_i} \right )\) 。
莫比乌斯函数
\(\mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ (-1)^k&c_i=1\\ 0& \text{otherwise} \end{cases}\)
证明 \(\mu\) 是积性函数：
对于 \(\forall a,b,a \perp b,ab=x\) ， 考虑 \(\mu(a)\mu(b)\) :
1.若 \(\mu(a)=0\) 或 \(\mu(b)=0\) ，则 \(ab\) 必含平方因子，则 \(\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)=0\) 。
2.否则，由于 \(a \perp b\) ，则 \(ab\) 也不含平方因子，则 \(\mu(a)\mu(b)=(-1)^{k_1}(-1)^{k_2}=(-1)^{k_1+k_2}=\mu(ab)\) 。
一般线性筛
对于一个积性函数 \(f\) ，考虑以下的线性筛法：
要计算 \(f(n)\) ，考虑到 \(n=\prod \limits _{i=1}^k p_i^{c_i}\) 。
在线性筛的过程中，如果 \(i \bmod p_j \neq 0\) ，就有 \(f(i \cdot p_j)=f(i)f(p_j)\) 。
否则，考虑 \(k|(i \cdot p_j)\) ， \(k \perp p_j\) ，则有 \(f(i \cdot p_j)=f(k)f( \frac{i \cdot p_j}{k})\) 。
因此，我们只需要记录对于每一个 \(i \cdot p_j\) 对应的 \(k\) ，和推导出从 \(f(p^c)\) 到 \(f(p^{c+1})\) 的关系式即可。
一个例题
令 \(f(i)\) 表示有序三元组 \((a,b,c)\) 的个数，使得 \(abc=i\) 。求出 \(f(1)\) ~ \(f(n)\) 。 \(n \leq 10^7\) 。
证明 \(f\) 是积性函数
写出式子： \(f(i)=\sum \limits_{a|i} \sum \limits_{b|i} \sum \limits_{c|i} [abc=i]\) 。
显然，原式等于 \(\sum \limits_{a|i} \sum \limits_{b| \frac{i}{a}} 1\) 。
设 \(d(n)\) 表示 \(n\) 的约数个数，
则原式可转化为 \(\sum \limits_{a|i} d(\frac{i}{a})\) ，
即 \(\sum \limits_{a|i} d(a)\) 。
所以，要先证明 \(d\) 是积性函数。
\(d(a)d(b)=\sum \limits_{x|a} 1 \sum \limits_{y|b} 1\) 。
因为 \(a \perp b\) ，所以 \(x \perp y\) 。
所以原式等于 \(\sum \limits_{(xy)|(ab)} 1\) 。
所以 \(d(a)d(b)=d(ab)\) 。
所以 \(d\) 是积性函数。
所以 \(f(a)f(b)=\sum \limits_{x|a} d(x) \sum \limits_{y|b} d(y)\) 。
因为 \(a \perp b\) ，所以 \(x \perp y\) 。
所以原式等于 \(\sum \limits_{(xy)|(ab)} d(x)d(y)\) 。
因为 \(d\) 是积性函数，
所以原式等于 \(\sum \limits_{(xy)|(ab)} d(xy)\) 。
所以 \(f(a)f(b)=f(ab)\) ，
所以 \(f\) 是积性函数。
所以就可以开始筛了。
筛 ：
考虑 \(f(p^k)\) ：
设 \(a=p^x\) ， \(b=p^y\) ， \(c=p^z\) 。
那么 \(k=x+y+z\) 。
用插板法可求出方案为 \(C(k+2,2)\) 。
筛的时候记一下 \(k\) 即可。