杜教筛

前置知识

莫比乌斯反演

算法简介

用于计算数论函数前缀和。

思想

设有一个数论函数 (f) ，要计算它的前缀和，即 (S(n)=sum limits_{i=1}^n f_i) 。
再找一个数论函数 (g) ，考虑它们狄利克雷卷积的前缀和：
(sum limits_{i=1}^n (f*g)(i)=sum limits_{i=1}^n sum limits_{d|i}f(d)g(frac{i}{d})=sum limits_{d=1}^n g(d) sum limits_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor} f(i)=sum limits_{d=1}^n g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor)) .
发现这个式子的第一项，即 (g(1)S(n)) ，就是我们要求的 (S(n)) 。
用前缀和的思想， (g(1)S(n)=sum limits_{i=1}^n g(i)S(lfloor frac{n}{i} floor)-sum limits_{i=2}^n g(i)S(lfloor frac{n}{i} floor)) 。
因为 (g(1)S(n)) 就是我们要求解的东西，所以把前一部分换成 (sum limits_{i=1}^n (f*g)(i)) ，得到 (g(1)S(n)=sum limits_{i=1}^n (f*g)(i)-sum limits_{i=2}^n g(i)S(lfloor frac{n}{i} floor)) 。
这样，如果找的积性函数 (g) 有比较好的性质，能够快速算出 (sum limits_{i=1}^n (f*g)(i)) 和 (g) 的前缀和，就可以数论分块，同时递归处理 (S(lfloor frac{n}{i} floor)) ，从而得到 (S(n)) 了。
直接写，复杂度是 (O(n^{frac{3}{4}})) 。
但是，这个做法还可以优化。可以用线性筛先筛出前 (O(n^{frac{2}{3}})) 个数，后面再用杜教筛。这样做，复杂度是 (O(n^{frac{2}{3}})) 。

例子

1.求 (varphi) 的前缀和。
有性质 (varphi*1=id) ，同样把上面的 (f) 取为 (varphi) ， (g) 取为 (1) 即可。((id(n)=n))

int PHI(int x)
{
	if(x<N) return phi[x];//已经筛出来的部分
	if(ans[x]) return ans[x];
	int sum=(1+x)*x/2,l=0,r=1;
	while(l<=x)
	{
		l=r+1;
		if(x/l) r=MIN(x/(x/l),x);
		else r=x;
		sum-=(r-l+1)*PHI(x/l);
	}
	return ans[x]=sum;
}

2.求 (mu) 的前缀和。
有性质 (mu*1=varepsilon) ，那么，把上面的 (f) 取为 (mu) ， (g) 取为 (1) 即可。((varepsilon(n)=[n=1]))

int MU(int x)
{
	if(x<N) return mu[x];
	if(ans[x]) return ans[x];
	int sum=1,l=0,r=1;
	while(l<=x)
	{
		l=r+1;
		if(x/l) r=MIN(x/(x/l),x);
		else r=x;
		sum-=(r-l+1)*MU(x/l);
	}
	return ans[x]=sum;
}