HDU-2262 Where is the canteen 概率DP,高斯消元

　　题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2262

　　题意：LL在一个迷宫里面转，每次走向周围能走的点的概率都是一样的，现在LL要随机的走到canteen哪里，求期望。

　　这个是带环的求期望问题，并且没有什么特殊性，只有列出方程，然后gauss消元了。首先用BFS求出能走的点，并判断能否走到canteen。然后列出期望方程，E[i]=Σ( E[j]*p[j] ) +1。然后好求了，注意题目中有多个canteen。。。

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#include <functional>
#include <algorithm>
#include <iostream>
//#include <ext/rope>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
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#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
//using namespace __gnu_cxx;
//define
#define pii pair<int,int>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define PI acos(-1.0)
//typedef
typedef __int64 LL;
typedef unsigned __int64 ULL;
//const
const int N=230;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const LL MOD=1000000007,STA=8000010;
const LL LNF=1LL<<55;
const double EPS=1e-9;
const double OO=1e30;
const int dx[4]={-1,0,1,0};
const int dy[4]={0,1,0,-1};
const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
//Daily Use ...
inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}
template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}
//End

/*   gauss_elimination  O(n^3)
   n个方程n个变元
   要求系数矩阵可逆
   A[][]是增广矩阵,即A[i][n]是第i个方程右边的常数bi
   运行结束后A[i][n]是第i个未知数的值    */
int vis[20][20],cnt[20][20],e[20][20];
char g[20][20];
int n,m,tot,sx,sy;

double A[N][N];

int gauss(int n)
{
    int i,j,k,r;
    for(i=0;i<n;i++){
        //选一行与r与第i行交换，提高数据值的稳定性
        r=i;
        for(j=i+1;j<n;j++)
            if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i]))r=j;
        if(r!=i)for(j=0;j<=n;j++)swap(A[r][j],A[i][j]);
        //i行与i+1~n行消元
      /*  for(k=i+1;k<n;k++){   //从小到大消元，中间变量f会有损失
            double f=A[k][i]/A[i][i];
            for(j=i;j<=n;j++)A[k][j]-=f*A[i][j];
        }*/
        for(j=n;j>=i;j--){   //从大到小消元，精度更高
            for(k=i+1;k<n;k++)
                A[k][j]-=A[k][i]/A[i][i]*A[i][j];
        }
    }
    //判断方程时候有解
    for(i=0;i<n;i++)if(sign(A[i][i])==0)return 0;
    //回代过程
    for(i=n-1;i>=0;i--){
        for(j=i+1;j<n;j++)
            A[i][n]-=A[j][n]*A[i][j];
        A[i][n]/=A[i][i];
    }
    return 1;
}

int bfs()
{
    int i,j,x,y,nx,ny,t;
    queue<int> q;
    q.push(sx*m+sy);
    mem(vis,-1);mem(cnt,0);
    vis[sx][sy]=tot=0;
    tot++;
    while(!q.empty()){
        t=q.front();q.pop();
        x=t/m;y=t%m;
        for(i=0;i<4;i++){
            nx=x+dx[i];
            ny=y+dy[i];
            if(nx>=0&&nx<n && ny>=0&&ny<m && g[nx][ny]!='#'){
                cnt[x][y]++;
                if(vis[nx][ny]!=-1)continue;
                vis[nx][ny]=tot++;
                q.push(nx*m+ny);
            }
        }
    }
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<m;j++)
            if(vis[i][j]!=-1 && e[i][j])return 1;
    }
    return 0;
}

int main(){
 //   freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        mem(e,0);
        for(i=0;i<n;i++){
            scanf("%s",g[i]);
            for(j=0;j<m;j++){
                if(g[i][j]=='@')sx=i,sy=j;
                else if(g[i][j]=='$')e[i][j]=1;
            }
        }

        if(!bfs()){
            printf("-1
");
            continue;
        }
        mem(A,0);
        for(i=0;i<n;i++){
            for(j=0;j<m;j++){
                if(vis[i][j]==-1)continue;
                int u=vis[i][j];
                double p=1.0/cnt[i][j];
                if(e[i][j]){
                    A[u][u]=1;
                    A[u][tot]=0;
                    continue;
                }
                A[u][u]=A[u][tot]=1;
                for(k=0;k<4;k++){
                    int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
                    if(x>=0&&x<n && y>=0&&y<m && vis[x][y]!=-1){
                        A[u][vis[x][y]]=-p;
                    }
                }
            }
        }
        gauss(tot);
        printf("%.6lf
",A[vis[sx][sy]][tot]);
    }
    return 0;
}