POJ-2480 Longge's problem 积性函数

　　题目链接：http://poj.org/problem?id=2480

　　题意：多次求sigma(gcd(i,n), 1<=i<=n<2^32)

　　这题不能直接搜了，需要考虑函数的性质。

　　由gcd(i*j,n)=gcd(i,n)*gcd(j,n)，所以gcd(i,n)为积性函数。

　　设f(n)=Σ(gcd(i,n))，由定理：积性函数的和函数也是积性函数(具体数学上有)。

　　所以f(x)=f(p1^a1*p2^a1*...*pn^an)=f(p1^a1)*f(p2*a2)*...*f(pn^an)。

　　只要对每个f(pi^ai)求解就可以了，f(pi^ai)=1*phi(pi^ai)+pi^a1*phi(pi^(ai-1))+...+pi^ai*phi(1)。

　　由phi(pi^ai) = pi^ai - pi^(ai-1)，那么可以化简上面的式子：f(pi^ai) = ai * pi^ai - ai * pi^(ai-1) + pi^ai = pi^ai * (ai - ai/pi + 1)；

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#include <functional>
#include <algorithm>
#include <iostream>
//#include <ext/rope>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
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#include <string>
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#include <bitset>
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#include <ctime>
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#include <set>
//#include <map>
using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
//using namespace __gnu_cxx;
//define
#define pii pair<int,int>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define PI acos(-1.0)
//typedef
typedef __int64 LL;
typedef unsigned __int64 ULL;
//const
const int N=110;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=100000,STA=8000010;
const LL LNF=1LL<<60;
const double EPS=1e-8;
const double OO=1e15;
const int dx[4]={-1,0,1,0};
const int dy[4]={0,1,0,-1};
const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
//Daily Use ...
inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}
template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}
//End

LL ans,n;

int main(){
 //   freopen("in.txt","r",stdin);
    LL i,j;
    LL cnt,t;
    while(~scanf("%I64d",&n)){
        ans=n;t=1;
        for(i=2;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                cnt=0 ;
                while(n%i==0){
                    cnt++;
                    n/=i;
                }
                ans+=ans*cnt/i*(i-1);
            }
        }
        if(n>1)ans=ans*(n*2-1)/n;

        printf("%I64d
",ans);
    }
    return 0;
}