主席树----POJ 2104（主席树裸题）（转）

首先来介绍一下我们需求：给你n个数，多次问你某个区间内的第k小是哪个数

主席树：

主席树的全名应该是 函数式版本的线段树。加上附带的一堆 technology。。

。。总之由于原名字太长了，而且 “主席” 两个字念起来冷艳高贵，以后全部称之为主席树好了。。

主席树的主体是线段树，准确的说，是很多棵线段树，存的是一段数字区间出现次数（所以要先离散化可能出现的数字）。举个例子，假设我每次都要求整个序列内的第 k 小，那么对整个序列构造一个线段树，然后在线段树上不断找第 k 小在当前数字区间的左半部分还是右半部分。这个操作和平衡树的 Rank 操作一样，只是这里将离散的数字搞成了连续的数字。

先假设没有修改操作：

对于每个前缀 S1…i，保存这样一个线段树 Ti，组成主席树。这样不是会 MLE 么？最后再讲。

注意，这个线段树对一条线段，保存的是这个数字区间的出现次数，所以是可以互相加减的！还有，由于每棵线段树都要保存同样的数字，所以它们的大小、形态也都是一样的！这实在是两个非常好的性质，是平衡树所不具备的。

对于询问 (i,j)，我只要拿出 Tj 和 Ti-1，对每个节点相减就可以了。说的通俗一点，询问 i..j 区间中，一个数字区间的出现次数时，就是这些数字在 Tj 中出现的次数减去在 Ti-1 中出现的次数。

由于每棵线段树的大小形态都是一样的，而且初始值全都是 0，那每个线段树都初始化不是太浪费了？所以一开始不用建树。

然后是在某棵树上修改一个数字，由于和其他树相关联，所以不能在原来的树上改，必须弄个新的出来。难道要弄一棵新树？不是的，由于一个数字的更改只影响了一条从这个叶子节点到根的路径，所以只要只有这条路径是新的，另外都没有改变。比如对于某个节点，要往右边走，那么左边那些就不用新建，只要用个指针链到原树的此节点左边就可以了，这个步骤的前提也是线段树的形态一样。

所以根据我的理解以及网上的资料：我们首先使用vector进行离散化，每次加一个点就添一条边，并让（1，x（加入的点离散化后的大小））加一，最后模拟线段树查询就好

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define eps 1E-8
/*注意可能会有输出-0.000*/
#define Sgn(x) (x<-eps? -1 :x<eps? 0:1)//x为两个浮点数差的比较,注意返回整型
#define Cvs(x) (x > 0.0 ? x+eps : x-eps)//浮点数转化
#define zero(x) (((x)>0?(x):-(x))<eps)//判断是否等于0
#define mul(a,b) (a<<b)
#define dir(a,b) (a>>b)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int Inf=1<<28;
const ll INF=1ll<<60;
const double Pi=acos(-1.0);
const int Mod=1e9+7;
const int Max=1e5+7;
int root[Max],tot;//存根节点（n个根节点一定不同） 内存池
struct node
{
    int lef,rig,date;
} msegtr[Max*20];//开得足够大
int a[Max];
vector<int> vec;
int GetId(int num)//找到离散化后原值对应的值
{
    return lower_bound(vec.begin(),vec.end(),num)-vec.begin()+1;
}
void Create(int sta,int enn,int &x,int y,int pos)//建树添边
{
    msegtr[++tot]=msegtr[y];//更新这条边
    msegtr[tot].date++;
    x=tot;//增加一条边
    if(sta==enn)
        return;
    int mid=dir(sta+enn,1);
    if(mid>=pos)//左子树添边
        Create(sta,mid,msegtr[x].lef,msegtr[y].lef,pos);
    else
        Create(mid+1,enn,msegtr[x].rig,msegtr[y].rig,pos);
    return;
}
int Query(int sta,int enn,int x,int y,int k)//查询区间k大，因为满足区间减法
{
    if(sta==enn)
    {
        return sta;
    }
    int mid=dir(sta+enn,1);
    int sum=msegtr[msegtr[y].lef].date-msegtr[msegtr[x].lef].date;//左孩子区间的差
    if(sum>=k)
        return Query(sta,mid,msegtr[x].lef,msegtr[y].lef,k);
    else
        return Query(mid+1,enn,msegtr[x].rig,msegtr[y].rig,k-sum);
}
int main()
{
    int n,m,t;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        root[0]=0;
        msegtr[0].lef=msegtr[0].rig=msegtr[0].date=0;
        vec.clear();
        tot=0;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            vec.push_back(a[i]);
        }
        sort(vec.begin(),vec.end());//离散化
        vec.erase(unique(vec.begin(),vec.end()),vec.end());//去重
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            Create(1,n,root[i],root[i-1],GetId(a[i]));
        int l,r,k;
        for(int i=0; i<m; ++i)
        {
            scanf("%d %d %d",&l,&r,&k);
            printf("%d
",vec[Query(1,n,root[l-1],root[r],k)-1]);//返回原来的数字
        }
    }
    return 0;
}

 参考：http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8045038