BZOJ-3884-上帝与集合的正确用法（欧拉定理）

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Source

By PoPoQQQ

题解

刚开始看到这道题的时候感觉无从下手（觉得次数应该会影响最终答案）

但是后来发现有一些有趣的性质

首先让我们来回顾一下欧拉定理：a^φ(p)≡1 (mod p) (a和p互质)

由上面的式子可以推出aⁿ≡a^{n mod φ(p) + φ(p)} (mod p) (a和p互质)

但是题目给出的p好像和a不互质，怎么办呢？

其实我们可以把p转化一下，我们令p=2^k·q，q为奇数

那么就可以化2^{2^{2^2···}}mod p=2^k·（2^{（2^{2^2···}-k）}mod q），由于q为奇数，所以q和2互质，可以套用欧拉定理

那么时间复杂度如何呢

每次都要取φ(p)，我们可以发现除了第一次取模以外，其他的模数都是偶数，即φ(p)<=p/2，这样在<=log₂n次递归后模数就会变成1，这样就可以直接return 0了

当然我们也可以用线性筛先把1到1000w的欧拉函数求出来，但是在实际测试中，第二种方法比第一种方法慢很多

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define N 10000007
 3 #define ll long long
 4 using namespace std;
 5 int T,p;
 6 int E[N],A[N];
 7 int euler(int x){
 8     int ans=x;
 9     int d=sqrt(x);
10     for (int i=2;i<=d;i++)
11         if (!(x%i)){
12             ans=ans/i*(i-1);
13             while (!(x%i)) x/=i;
14         }
15     if (x>1) ans=ans/x*(x-1);
16     return ans;
17 }
18 ll pow_mul(int b,int p){
19     ll ans=1,tmp=2;
20     while (b){
21         if (b&1) ans=ans*tmp%p;
22         tmp=tmp*tmp%p;
23         b>>=1;
24     }
25     return ans;
26 }
27 int solve(int p){
28     if (A[p]) return A[p];
29     if (p==1) return 0;
30     int tmp=0,q=p;
31     while (!(q&1)) q>>=1,tmp++; 
32     if (!E[q]) E[q]=euler(q);
33     int x=solve(E[q]);
34     x=(x+E[q]-tmp%E[q])%E[q];
35     A[p]=pow_mul(x,q)<<tmp;
36     return A[p];
37 }
38 int main(){
39     scanf("%d",&T);
40     while(T--){
41         scanf("%d",&p);
42         printf("%d
",solve(p));
43     } 
44     return 0;
45 }

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