首先我们介绍三个概念：同胚、拓扑共轭和混沌。
1、同胚
如果一个映射是一对一的映射、又是满映射，并且是连续的，我们称这个映射为同胚。
2、拓扑共轭
设f:A->A及g:B->B为两个映射，如果存在一同胚h:A->B ,使得h°f=g°h,则称f和g是拓扑共轭的。
3、混沌的概念
设 V 是一度量空间，X,Y 是 V上的任意开子集，一个连续映射 f：V→V，若满足下面 3 个
条件，则称 f 在 V 上是混沌的：
(1)f 具有对初始条件的敏感依赖性。存在 δ >0，对任意的 x ∈V ，和 x 的任何邻域 N，存在 y ∈N 和自然数 n >0，有
(2)f 具有拓扑传递性。即对任何一个开集X、Y⊂U，存在k>0,使得
。
(3)f的周期点集 T在 V中是稠密的。即存在 x ∈V ，∀ε >0，都存在 y ∈ T使得不等式 
成立。
好了，弄清楚概念，我们开始证明了。
证明：
在[-1,1]是混沌的。
Step1：先证明
是混沌的。
设
表示平面上单位圆。我们用角表示
上的点，其
用标准的方法并以弧度为单位进行测量。
（1）敏感依赖性
设
是
上的映射，对
、
，有
、
故
所以
具有对初始条件的敏感依赖性。
（2）拓扑传递
设
是
的两个开区间，
是对应在
上面的开弧。因为
上面的任何小弧都可由某一
（n是正整数）最终扩展以覆盖
上面任何弧。所以有
，据此推出
。
所以
是拓扑传递的。
（3）周期点在V中稠密，V是一个度量空间。
因为
，所以
是
周期点当且仅当
，
.即当且仅当
，且
所以
，证明其周期点是有极限的。
所以对
，必然
，使得
，所以
，
，
是周期点。
故
在V中是稠密的。
所以我们得到
是混沌的。
Step2:证明F与g是拓扑共轭的。
我们设
，h:[0,2π]--->[-1,1]是一对一满射的，并且在[0,2π]是连续的，故h是一个同胚映射。
所以
故f、g是拓扑共轭的，他们的动力性态完全等价。
所以
是混沌的。