题前废话：
然后树状数组也是用来维护前缀和的一种数据结构，对于树状数组，修改与求和都是O（nlogn）的，还是很nice的；
基本思想：
首先我们知道，对于任何一个数i，都可以分解成几个不同（指x的值不同）的2^x，那么对于一段区间[1,n]，我们可以按照n的二进制分解将这个大区间分成几个小区间：
n=（10101）2，可以将区间[1,n]分解成为三个小区间：
①长度为24的小区间[1,24]
②长度为22的小区间[24+1,24+22]
③长度为20的小区间[24+22+1,24+22+20]
对于区间[1,x]，树状数组将其分为logx个区间；
然后这些区间的区间长度：若区间结尾为R，则区间长度就等于R的“二进制分解”下最小的2的次幂，设它为lowbit(i)；
然后开一个数组c，c[i]记录着序列a的区间[i-lowbit(i)+1,i]所有数之和。
以下是一个树状数组的结构图示：
几个部分：
1.求lowbit：
我……不是很想写证明因为我也不会，直接记录一下怎么求吧：
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
2.对某个元素进行单点修改操作；
对某个数i加上y，首先我们找到c[i]，显然c[i]肯定包含数i，先将c[i]加上y，然后找c[i]的所有祖先（每次加上lowbit（当前节点）），全都加上y；
void add(int x,int v){ while(x<=n){ c[x]+=v; x+=lowbit(x); } }
3.对某个区间进行查询：
树状数组只支持查询1~x的值（好像就是前缀和？），因此当要查询区间的值时，我们需要用区间右端点的前缀和-（区间左端点-1）的前缀和；
查询操作：
int Sum(int x){ int res=0; while(x>0){ res+=c[x]; x-=lowbit(x); } return res; }
了解了这几个基本操作，我们就可以做板子题：【模板】树状数组 1了：
完完全全套上面的板子就可以了，然后对了还有一点，我们大可不必将序列的值单独再开一个数组去存，可以将其当做是一个开始全为0的树状数组，然后输入x就相当于在第i个数+x；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; inline int read(){ int ans=0; char last=' ',ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0') last=ch,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+ch-'0',ch=getchar(); if(last=='-') ans=-ans; return ans; } int n,m,a; int c[500007]; int lowbit(int n){return n&(-n);} void add(int x,int v){ while(x<=n){ c[x]+=v; x+=lowbit(x); } } int Sum(int x){ int res=0; while(x>0){ res+=c[x]; x-=lowbit(x); } return res; } int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a=read(),add(i,a); int ops,x,y; for(int i=1;i<=m;i++){ ops=read();x=read();y=read(); if(ops==1) add(x,y); if(ops==2) printf("%d ",Sum(y)-Sum(x-1)); } return 0; }
然后既然有树状数组1，肯定至少有树状数组2，树状数组2是单点查询区间修改，还不至于变态，可以用差分来做；
首先先是暴力，直接for循环将x~y间的每个数都+k；
虽然知道妥妥的TLE，但我还是试了试雷：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; inline int read(){ int ans=0; char last=' ',ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0') last=ch,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+ch-'0',ch=getchar(); if(last=='-') ans=-ans; return ans; } int n,m,a; int c[500007]; int lowbit(int n){return n&(-n);} void add(int x,int v){ while(x<=n){ c[x]+=v; x+=lowbit(x); } } int Sum(int x){ int res=0; while(x>0){ res+=c[x]; x-=lowbit(x); } return res; } int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a=read(),add(i,a); int ops,x,y,k; for(int i=1;i<=m;i++){ ops=read();x=read(); if(ops==1) { y=read(); k=read(); for(int i=x;i<=y;i++) add(i,k); } if(ops==2) printf("%d ",Sum(x)-Sum(x-1)); } return 0; }
首先介绍一下差分：
差分，顾名思义，肯定要做差；
举个栗子：
已知序列a[6]={1,8,4,2,5,6},它的差分数组b[6]={1,-7,4,2,-3,-1},
如果我们将序列a的第2~第4个元素+1：
a[6]={1,9,4,3,5,6},b[i]={1,-8,4,2,-2,-1}
我们发现，变化的只有第2项和第5项（很好想明白为啥就不证明了），所以对于这个题，我们可以用树状数组维护一个差分变化量（只维护变化）数组，开始时全为0（因为较原来的数组没有区别），然后当要将某个区间[x,y]+k时，我们将差分数组的x项+k，将差分数组的y+1项-k；这样求某个数的值的时候，我们可以累加它之前的差分变化量，然后加上它自己原本的值，就是修改后的值啦；
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; inline int read(){ int ans=0; char last=' ',ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0') last=ch,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+ch-'0',ch=getchar(); if(last=='-') ans=-ans; return ans; } int n,m,a[500007]; int c[500007]; int lowbit(int n){return n&(-n);} void add(int x,int v){ while(x<=n){ c[x]+=v; x+=lowbit(x); } } int Sum(int x){ int res=0; while(x>0){ res+=c[x]; x-=lowbit(x); } return res; } int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); int ops,x,y,k; for(int i=1;i<=m;i++){ ops=read();x=read(); if(ops==1) { y=read(); k=read(); add(x,k); add(y+1,-k); } if(ops==2) printf("%d ",a[x]+Sum(x)); } return 0; }
end-