【暑假培训1】7.16

知识一览：

• 最短路：
  • Dijkstra（堆优化）
  • SPFA
  • Floyd
• 最小生成树：
  • Kruscal
• 连通性：
  • BFS
  • Tarjan（强连通分量）
• 其它：
  • 拓扑排序
  • LCA

先先先先看个题：

【first 题目链接】

【题目描述】

现有一个传动系统，包含了N个组合齿轮和M个链条。每一个链条连接了两个组合齿轮u和v，并提供了一个传动比x: y。即如果只考虑这两个组合齿轮，编号为u的齿轮转动x圈，编号为v的齿轮会转动y圈。传动比为正表示若编号为u的齿轮顺时针转动，则编号为v的齿轮也顺时针转动。传动比为负表示若编号为u的齿轮顺时针转动，则编号为v的齿轮会逆时针转动。若不同链条的传动比不相容，则有些齿轮无法转动。我们希望知道，系统中的这Ｎ个组合齿轮能否同时转动。

N<=1000，M<=10000；

朴素30pts：

把每两个点间的所有路径都搜索一遍，比例相乘，比较是否相同；

正解：

考虑图的性质：

图的dfs树的非树边只有返祖边没有横叉边；（自己画一画可以理解）

从任意一点开始dfs，求出dfs树；在dfs树上，传动比唯一确定，我们按照传动比设定权值为c1，c2……

枚举非树边，若非树边上的比例与所指两点求得权值比例不同，就不可以同时转动，否则可以；

看知识：

LCA：

重课表也是神奇；

O(nlogn)

是一种在线算法，可以边询问边求解；

然后Tarjan（对，没错，又是这个人）提出了一种线性的求LCA的方法O(n+m)，但是是离线的；

最短路：

单源最短路：

堆优化的Dijstar：

要求：边权全是正权；

pa =>pair<int,int> <源点到此点当前最短路，此点编号>，然后是首先按第一维比较的

求1=>所有点最短路；

先把最短路都赋成正无穷；

不断从队顶弹出元素，直到队空；

如果处理过，不再处理；

Else 处理：

枚举从now出去的每一条边，如果到now的最短路+某条边的路<某条边终点的最短路，修改终点最短路；

SPFA：

可以处理带负权的图，判负环；（最长路代码：：：：：）显然可以直接stl

多源最短路：

Floyd 要深刻理解DP的原理？（也没讲啊？？？）

翻找之前的博客：

1. floyd实际上是一个DP（floyd：哈哈想不到吧qwq）
2. floyd其实是一个三维DP
3. floyd其实就跟01背包一样把k这一维降掉了，因此k要放在最外层枚举；
4. 对于没有降维的三维floyd dis_{k,i,j来讲，表示的是从i=>j只可能经过1——k这些点的最短路径；}

最小生成树：

最小生成树上的最大边权一定最小；

Kruscal：

处理无向图的最小生成树

思想：先把所有边拿出来排个序，每次选取边权最小的一条边，将其连入同一个连通块中（要注意不能出现环）

有向图最小生成树：朱刘算法

拓扑排序：

应用条件：有向图

每次将入度为0的点拿出来，排一个序。

考法1：在拓扑序上进行动态规划；（大概zhx会将伐？）

考法2：判环；

 强连通分量&tarjan：

定义在有向图当中；

两个点是强连通的：在图中有一条路径可以由点A=>B,还有一条路径可以由B=>A；

每个点都强联通，强连通图；

一个图的一个子图是强连通图，被称为强连通子图；

一个图中极大（最大）的强连通子图，称为强连通分量；

以受欢迎的牛举例，讲Tarjan：

受欢迎的牛【题目链接】

很容易可以想到，每个强连通分量中的牛都互相喜欢；

把所有的强连通分量缩成一个点，看有几个点没有出边；如果有大于1个点没有出边，那么没有答案，如果恰好有1个点没有出边，那么这个点代表的强连通分量大小就是问题的答案；

如何求强连通分量：

1.dfs尝试操作；

2.Tarjan：

首先要建立一棵dfs树：

原图：

dfn(x)表示x是第几个被dfs到的

Low：当前节点以及它的子树的所有出边，能够连到的dfn值中最小的一个

建图：

 蓝色边表示非树边

Dfs，加到一个栈里，当dfn==low时，说明是一个强连通分量，一直弹出直到弹出到我们刚刚算出的dfn==low的数x，然后这些被弹出的数都是一个强连通分量；

上面图中，第五个节点的low按照定义应该为4，但是因为之前扫描到6时，我们把6删掉了，因此low[5]=5;

上代码：