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数据结构之最小生成树

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。

找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。下面分别介绍两种算法。

一、普里姆（Prim）算法

普里姆算法，图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。

1.1 算法描述

    从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。
（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
（2）初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {}；
（3）重复下列操作，直到V_new = V：
            在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合V_new中的元素，而v则不是（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
            将v加入集合V_new中，将（u, v）加入集合E_new中；
（4）输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

1.2 例示

1.3 普里姆算法实现

/* 邻接矩阵表示的图结构*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <curses.h>
 
typedefchar VertexType;        //顶点类型应由用户定义
typedefint EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义
 
#define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义
#define INFINITY    65535       //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
 
//邻接矩阵结构
typedefstruct
{
    VertexType vexs[MAXVEX];    //顶点表
    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边
    intnumVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
 
//定位
intlocates(Graph *g, charch)
{
    inti = 0;
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        if(g->vexs[i] == ch)
        {
            break;
        }
    }
    if(i >= g->numVertexes)
    {
        return-1;
    }
     
    returni;
}
 
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
voidCreateGraph(Graph *g)
{
    inti, j, k, w;
    printf("输入顶点数和边数:
");
    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
     
    #ifdef DEBUG
    printf("%d %d
", g->numVertexes, g->numEdges);
    #endif
 
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("请输入顶点%d:
", i);
        g->vexs[i] = getchar();
        while(g->vexs[i] == '
')
        {
            g->vexs[i] = getchar();
        }
    }
     
    #ifdef DEBUG
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("%c ", g->vexs[i]);
    }
    printf("
");
    #endif
 
 
    for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
    {
        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
        {
            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
        }
    }
    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
    {
        charp, q;
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:
");
         
        p = getchar();
        while(p == '
')
        {
            p = getchar();
        }
        q = getchar();
        while(q == '
')
        {
            q = getchar();
        }
        scanf("%d", &w);    
         
        intm = -1;
        intn = -1;
        m = locates(g, p);
        n = locates(g, q);
        if(n == -1 || m == -1)
        {
            fprintf(stderr,"there is no this vertex.
");
            return;
        }
        //getchar();
        g->arc[m][n] = w;
        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图，矩阵对称
    }
}
 
//打印图
voidprintGraph(Graph g)
{
    inti, j;
    printf("构建的邻接矩阵如下所示.
");
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
        {
            printf("%5d  ", g.arc[i][j]);
        }
        printf("
");
    }
}
 
//prime算法最小生成树
voidMiniSpanTree_Prime(Graph g)
{
    intmin, i, j, k;
    intadjvex[MAXVEX];         //保存相关顶点下标
    intlowcost[MAXVEX];        //保存相关顶点间边的权值
    lowcost[0] = 0;             //初始化第一个权值为0，即v0加入生成树
 
    adjvex[0] = 0;              //初始化第一个顶点下标为0
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        //循环除下标为0外的全部顶点
        lowcost[i] = g.arc[0][i];   //将v0顶点与之有边的权值存入数组
        adjvex[i] = 0;              //初始化都为v0下标
    }
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        min = INFINITY;             //初始化最小权值为无穷大
        j = 1;
        k = 0;
        while(j < g.numVertexes) //循环全部顶点
        {
            //如果权值不为0,且权值小于min
            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];       //则让当前权值成为最小值
                k = j;                  //将当前最小值的下标存入k
            }
            j++;
        }
        printf("(%d,%d)", adjvex[k], k); //打印当前顶点边中权值最小边
        lowcost[k] = 0;                 //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务
 
        for(j = 1; j < g.numVertexes; j++)//循环所有顶点
        {
            if(lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
                lowcost[j] = g.arc[k][j];
                adjvex[j] = k;              //将下标为k的顶点存入adjvex
            }
        }
    }
    printf("
");
}
 
intmain(intargc, char**argv)
{
    Graph g;
     
    //邻接矩阵创建图
    CreateGraph(&g);
    //打印网图
    printGraph(g);
    //求最小生成树
    MiniSpanTree_Prime(g);
 
    return0;
}

运行结果如下：

由代码实现可知，邻接矩阵实现的普里姆算法的时间复杂度为O(n²)。

二、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

普力马算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。同样的思路，我们也可以直接就以边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时，我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码：

//对边集数组Edge结构的定义

 typedefstruct

  {

      intbegin;

      intend;

     intweight;

 }Edge;

我们可以通过程序将邻接矩阵通过程序转化为边集数组，并且对它们的按权值从小到大排序。如下图所示。

于是克鲁斯卡尔算法代码如下，左侧数字为行号。其中MAXEDGE为边数量的最大值，MAXVEX为顶点个数最大值。具体代码如下所示。

/* 邻接矩阵表示的图结构*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
 
typedefchar VertexType;        //顶点类型应由用户定义
typedefint EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义
 
#define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义
#define INFINITY    65535       //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
 
//邻接矩阵结构
typedefstruct
{
    VertexType vexs[MAXVEX];    //顶点表
    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边
    intnumVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
 
//边集数组
#define MAXEDGE   100
typedefstruct
{
    intbegin;
    intend;
    intweight;
}Edge;
 
 
 
//定位
intlocates(Graph *g, charch)
{
    inti = 0;
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        if(g->vexs[i] == ch)
        {
            break;
        }
    }
    if(i >= g->numVertexes)
    {
        return-1;
    }
     
    returni;
}
 
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
voidCreateGraph(Graph *g)
{
    inti, j, k, w;
    printf("输入顶点数和边数:
");
    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
     
    #ifdef DEBUG
    printf("%d %d
", g->numVertexes, g->numEdges);
    #endif
 
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("请输入顶点%d:
", i);
        g->vexs[i] = getchar();
        while(g->vexs[i] == '
')
        {
            g->vexs[i] = getchar();
        }
    }
     
    #ifdef DEBUG
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("%c ", g->vexs[i]);
    }
    printf("
");
    #endif
 
 
    for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
    {
        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
        {
            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
        }
    }
    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
    {
        charp, q;
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:
");
         
        p = getchar();
        while(p == '
')
        {
            p = getchar();
        }
        q = getchar();
        while(q == '
')
        {
            q = getchar();
        }
        scanf("%d", &w);    
         
        intm = -1;
        intn = -1;
        m = locates(g, p);
        n = locates(g, q);
        if(n == -1 || m == -1)
        {
            fprintf(stderr,"there is no this vertex.
");
            return;
        }
        //getchar();
        g->arc[m][n] = w;
        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图，矩阵对称
    }
}
 
//打印图
voidprintGraph(Graph g)
{
    inti, j;
    printf("构建的邻接矩阵如下所示.
");
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
        {
            printf("%5d  ", g.arc[i][j]);
        }
        printf("
");
    }
}
 
//prime算法最小生成树
voidMiniSpanTree_Prime(Graph g)
{
    intmin, i, j, k;
    intadjvex[MAXVEX];         //保存相关顶点下标
    intlowcost[MAXVEX];        //保存相关顶点间边的权值
    lowcost[0] = 0;             //初始化第一个权值为0，即v0加入生成树
 
    adjvex[0] = 0;              //初始化第一个顶点下标为0
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        //循环除下标为0外的全部顶点
        lowcost[i] = g.arc[0][i];   //将v0顶点与之有边的权值存入数组
        adjvex[i] = 0;              //初始化都为v0下标
    }
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        min = INFINITY;             //初始化最小权值为无穷大
        j = 1;
        k = 0;
        while(j < g.numVertexes) //循环全部顶点
        {
            //如果权值不为0,且权值小于min
            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];       //则让当前权值成为最小值
                k = j;                  //将当前最小值的下标存入k
            }
            j++;
        }
        printf("(%d,%d)", adjvex[k], k); //打印当前顶点边中权值最小边
        lowcost[k] = 0;                 //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务
 
        for(j = 1; j < g.numVertexes; j++)//循环所有顶点
        {
            if(lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
                lowcost[j] = g.arc[k][j];
                adjvex[j] = k;              //将下标为k的顶点存入adjvex
            }
        }
    }
    printf("
");
}
 
//查找连线顶点的尾部
intFind(int*parent, intf)
{
    while(parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    returnf;
}
 
//直接插入排序
voidInsertSort(Edge edges[], intk)
{
    inti, j;
    Edge ss;
    for(i = 1; i <= k; i++)
    {
        if(edges[i].weight < edges[i - 1].weight)
        {
            ss = edges[i];
            for(j = i - 1; edges[j].weight > ss.weight; j--)
            {
                edges[j + 1] = edges[j];
            }
            edges[j + 1] = ss;
        }
    }
}
 
 
//将邻接矩阵转化为边集数组
voidConvert(Graph g, Edge edges[])
{
    inti;
    intj;
    intk;
     
    k = 0;
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < g.numVertexes; j++)
        {
            if(g.arc[i][j] < 65535)
            {
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = g.arc[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    k--;
 
#ifdef DEBUG
    printf("k = %d
", k);
    printf("边集数组排序前，如下所示.
"); 
    printf("edges[]     beign       end     weight
");
    for(i = 0; i < k; i++)
    {
        printf("%d", i);
        printf("        %d", edges[i].begin);
        printf("        %d", edges[i].end);
        printf("        %d", edges[i].weight);
        printf("
");
    }
#endif
     
    //下面进行排序
    InsertSort(edges, k);
#ifdef DEBUG
    printf("边集数组排序后，如下所示.
");
    printf("edges[]     beign       end     weight
");
    for(i = 0; i < k; i++)
    {
        printf("%d", i);
        printf("        %d", edges[i].begin);
        printf("        %d", edges[i].end);
        printf("        %d", edges[i].weight);
        printf("
");
    }
#endif
}
 
//克鲁斯卡尔算法实现
voidMiniSpanTree_Kruskal(Graph g)  
{
    inti, n, m;
    Edge edges[MAXEDGE];    //定义边集数组
    intparent[MAXVEX];     //定义一数组用来判断边与边是否形成环
     
    //此处为将邻接矩阵转化为边集数组edges并按权值由小到大排序
     
    Convert(g, edges);
    //
     
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        parent[i] = 0;  //初始化数组值为0
    }
 
    for(i = 0; i < g.numEdges; i++)          //循环每一条边
    {
        n = Find(parent, edges[i].begin);
        m = Find(parent, edges[i].end);
        if(n != m)      //假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路
        {
            parent[n] = m;  //将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中
                            //表示此顶点已经在生成树集合中
            printf("(%d,%d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }
    printf("
");
}
 
intmain(intargc, char**argv)
{
    Graph g;
     
    //邻接矩阵创建图
    CreateGraph(&g);
     
    //打印网图
    printGraph(g);
     
    //普里姆算法求最小生成树
    MiniSpanTree_Prime(g);
     
    //克鲁斯卡尔算法求最小生成树
    MiniSpanTree_Kruskal(g);   
     
    return0;
}

以下图为例，进行相应的测试。

运行结果如下所示。

上述运行过程是这样的：

（1）输入顶点数、边数；

（2）输入顶点，和边（依次为起点、终点、权值）；

（3）建立邻接矩阵，用来表示该网图；

（4）进行普里姆算法进行求最小生成树；

（5）进行克鲁斯卡尔进行求最小生成树；

--根据已经建立的邻接矩阵求边集数组；

--然后进行求最小生成树；

克鲁斯卡尔算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(loge)，而外面有一个for循环e次，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。《此处不包括由邻接矩阵转为边集数组》

对比两个算法，克鲁斯尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。

暂时弄懂了这两个算法，算是重新复习了一下，以后经常看看，不能再忘记了。

参考：《大话数据结构》、《维基百科》

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