《机器学习Python实现_06_优化_拟牛顿法实现(DFP,BFGS)》

一.简介

通过前面几节的介绍，大家可以直观的感受到：对于大部分机器学习模型，我们通常会将其转化为一个优化问题，由于模型通常较为复杂，难以直接计算其解析解，我们会采用迭代式的优化手段，用数学语言描述如下：

[min_{v^k} f(x^k+v^k) ]

这里目标函数为(f(x))，当前优化变量为(v^k)，目标即是找到一个(v^k)对当前的(x^k)进行更新，使得函数值尽可能的降低，如果目标函数一阶可微，对其作一阶泰勒展开即可得到如下梯度下降的更新公式：

二.梯度下降

对目标函数作一阶泰勒展开：

[f(x^k+v^k)=f(x^k)+ riangledown f(x^k)^Tv^k ]

所以要使得(f(x^k+v^k)<f(x^k))只需要使( riangledown f(x^k)^Tv^k<0)即可，而如果取：

[v^k=-lambda_k riangledown f(x^k),lambda_k>0 ]

则一定能使( riangledown f(x^k)^Tv^k<0)，所以，我们就得到了梯度下降的更新公式：

[x^{k+1}=x^k+v^k=x^k-lambda_k riangledown f(x^k) ]

这里(lambda_k)一般可以设置一个较小的定值，或者初始设置一个定值并使其随着迭代次数增加而递减；另外更好的做法是利用一维搜索：(min_{lambda_k}f(x^k-lambda_k riangledown f(x^k)))求一个最优的(lambda_k)，接下来我们想一下下面两个问题：

（1）梯度下降法一定能使得函数值下降吗？

（2）若它能使函数值下降，则它是最优的方向吗？

对于第一个问题，泰勒展开其实是有一个条件的，那就是(v^k ightarrow 0)，再结合上面的更新公式，如果(lambda_k)取得过大时，我们是不能省略泰勒展开后面的项的，而且后面项的取值也不一定能保证小于0，所以有时我们设置的学习率(lambda_k)较大时，函数值反而会上升。

所以，当(v^k)的取值大到不能忽略后面的项时，泰勒展开的二阶项取值就必须要考虑其中了，所以这时梯度下降法未必时最优的方向，接下来我们看下二阶展开的情况：

三.牛顿法

对其作二阶泰勒展开：

[f(x^k+v^k)=f(x^k)+ riangledown f(x^k)^Tv^k+frac{1}{2}{v^k}^T riangledown^2 f(x^k)v^k\ =f(x^k)+g_k^Tv^k+frac{1}{2}{v^k}^TH_kv^k ]

这里为了方便，记(g_k=g(x^k)= riangledown f(x^k),H_k=H(x^k)= riangledown^2 f(x^k))，(H_k)表示Hessian矩阵在(x^k)处的取值，Hessian矩阵的定义：

[H(x)=[frac{partial f}{partial x_ipartial x_j}]_{n imes n} ]

对于大部分机器学习模型，通常目标函数是凸的，所以(H(x))半正定，即对于(forall v^k)，都有({v^k}^TH_kv^kgeq0)，此时，(f(x^k)+g_k^Tv^k+frac{1}{2}{v^k}^TH_kv^k)是关于(v^k)的凸二次规划问题，所以最优的(v^k)在其梯度为0处取得：

[frac{partial f(x^k+v^k)}{partial v^k}=g^k+H^kv^k=0\ Rightarrow v^k=H_k^{-1}(-g_k) ]

可以发现牛顿法对比梯度下降法，其实牛顿法是对梯度法的方向进行了一个改变(H_k^{-1})，所以，我们可以得到牛顿法的更新公式：

[x^{k+1}=x^k-lambda_kH_k^{-1}g_k\ =x^k+lambda_k p_k ]

这里记(p_k=-H_k^-1g_k)；

可以发现牛顿法的复杂有点高，因为要求解(H_k^{-1})，那么有没有方便一点的方法呢？比如构建一个矩阵去近似(H_k)或者(H_k^{-1})，这便是拟牛顿法的基本思想

四.拟牛顿条件

上面说到了利用一个矩阵去近似Hessian矩阵或者Hessian矩阵的逆，那么这个近似矩阵需要满足怎样的条件呢？我们还是从二阶泰勒展开出发，稍微变换一下：

[f(x^{k+1})=f(x^k)+g_k^T(x^{k+1}-x^k)+frac{1}{2}(x^{k+1}-x^k)^TH_k(x^{k+1}-x^k) ]

两边对(x^{k+1})求偏导可得：

[g_{k+1}=g_k+H_k(x^{k+1}-x^k) ]

这便是拟牛顿条件，为了方便，记(y_k=g_{k+1}-g_k,delta_k=x^{k+1}-x^k)，所以：

[y_k=H_kdelta_k ]

所以，拟牛顿法也要满足和(H_k)一样的性质：

（1）正定性；

（2）满足拟牛顿条件

接下来，简单证明一下如果满足性质（1）：正定性，更新时可以满足函数值下降，假设(G_k)去近似(H_k^{-1})，所以：(G_ksucc 0)，那么迭代公式为：

[x^{k+1}=x^k-lambda_kG_kg_k,lambda_k>0 ]

将其带入二阶泰勒展开式中：

[f(x^{k+1})=f(x^k)-lambda_kg_k^TG_kg_k+frac{1}{2}lambda_k^2g_k^TG_k^TH_kG_kg_k ]

通常(lambda_k^2<<lambda_k)，所以可以省略第三项，而第二项由于(G_ksucc 0)，所以(-lambda_kg_k^TG_kg_k< 0)，所以(f(x^{k+1})<f(x^k))

五.DFP算法

DFP算法便是利用(G_k)近似(H_k^{-1})的一种算法，它的构造很tricky，它假设每一步迭代中矩阵(G_{k+1})是由(G_k)加上两个附加项构成的，即：

[G_{k+1}=G_k+P_k+Q_k ]

这里(P_k,Q_k)是待定项，由于需要满足拟牛顿条件，所以：

[G_{k+1}y_k=delta_k=G_ky_k+P_ky_k+Q_ky_k ]

这里做一个tricky的假设：

[P_ky_k=delta_k\ Q_ky_k=-G_ky_k ]

这样的(P_k,Q_k)不难找到：

[P_k=frac{delta_kdelta_k^T}{delta_k^Ty_k}\ Q_k=-frac{G_ky_ky_k^TG_k}{y_k^TG_ky_k} ]

所以，矩阵(G_{k+1})的迭代公式：

[G_{k+1}=G_k+frac{delta_kdelta_k^T}{delta_k^Ty_k}-frac{G_ky_ky_k^TG_k}{y_k^TG_ky_k} ]

可以证明，只要初始矩阵(G_0)正定对称，则迭代过程中的每个矩阵(G_k)均正定对称，接下来对其进行代码实现：

import numpy as np
"""
DPF拟牛顿法,封装到ml_models.optimization模块,与梯度下降法配合使用
"""


class DFP(object):
    def __init__(self, x0, g0):
        """

        :param x0: 初始的x
        :param g0: 初始x对应的梯度
        """
        self.x0 = x0
        self.g0 = g0
        # 初始化G0
        self.G0 = np.eye(len(x0))

    def update_quasi_newton_matrix(self, x1, g1):
        """
        更新拟牛顿矩阵
        :param x1:
        :param g1:
        :return:
        """
        # 进行一步更新
        y0 = g1 - self.g0
        delta0 = x1 - self.x0
        self.G0 = self.G0 + delta0.dot(delta0.T) / delta0.T.dot(y0)[0][0] - self.G0.dot(y0).dot(y0.T).dot(self.G0) / y0.T.dot(
            self.G0).dot(y0)[0][0]

    def adjust_gradient(self, gradient):
        """
        对原始的梯度做调整
        :param gradient:
        :return:
        """
        return self.G0.dot(gradient)

应用到LogisticRegression

我们试一试将DFP算法应用到LogisticRegression，修改的地方如下：

fit函数追加如下的一个判断：

elif self.solver == 'dfp':
    self.dfp = None
    self._fit_sgd(x, y)

_fit_sgd函数中，在梯度更新前做如下调整：

if self.solver == 'dfp':
    if self.dfp is None:
        self.dfp = optimization.DFP(x0=self.w, g0=dw)
    else:
        # 更新一次拟牛顿矩阵
        self.dfp.update_quasi_newton_matrix(self.w, dw)
    # 调整梯度方向
    dw = self.dfp.adjust_gradient(dw)

"""
梯度下降和DFP做一下对比
"""
from sklearn.datasets import make_classification
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

data, target = make_classification(n_samples=200, n_features=2, n_classes=2, n_informative=1, n_redundant=0,
                                   n_repeated=0, n_clusters_per_class=1)
target = target.reshape(200, 1)

import os
os.chdir('../')
from ml_models.linear_model import LogisticRegression

sgd_model = LogisticRegression(epochs=50)
sgd_model.fit(data, target)

dfp_model = LogisticRegression(solver='dfp',epochs=50)
dfp_model.fit(data,target)

#损失函数对比
plt.plot(range(0, len(sgd_model.losses)), sgd_model.losses,'b')
plt.plot(range(0, len(dfp_model.losses)), dfp_model.losses,'r')

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x169fb529588>]

可以发现，大部分情况下DFP比SGD收敛的更快，且收敛效果更好

#分类效果对比
sgd_model.plot_decision_boundary(data,target)
dfp_model.plot_decision_boundary(data,target)

六.BFGS算法

BFGS算法是用一个矩阵(B_k)去模拟海瑟矩阵(H_k)，它的更新公式同样假设有两个附加项：

[B_{k+1}=B_k+P_k+Q_k ]

当然，它需要满足拟牛顿条件：

[B_{k+1}delta_k=y_k ]

所以：

[B_{k+1}delta_k=B_kdelta_k+P_kdelta_k+Q_kdelta_k=y_k ]

考虑，使(P_k)和(Q_k)满足下面两个条件：

[P_kdelta_k=y_k\ Q_kdelta_k=-B_kdelta_k ]

可以得到满足条件的解：

[P_k=frac{y_ky_k^T}{y_k^Tdelta_k}\ Q_k=-frac{B_kdelta_kdelta_k^TB_k}{delta_k^TB_kdelta_k} ]

所以更新公式：

[B_{k+1}=B_k+frac{y_ky_k^T}{y_k^Tdelta_k}-frac{B_kdelta_kdelta_k^TB_k}{delta_k^TB_kdelta_k} ]

同样可以证明，如果(B_0)正定对称，那么迭代过程中的每个矩阵(B_k)都是正定对称的，由于这里是对(H_k)的近似，所以每次更新梯度时，还需要对(B_k)做求逆计算，我们可以使用两次如下的Sherman-Morrison公式：

[(A+uu^T)^{-1}=A^{-1}-frac{A^{-1}uu^TA^{-1}}{1+u^TA^{-1}u} ]

得到BFGS算法关于(G_k)的迭代公式：

[G_{k+1}=(I-frac{delta_ky_k^T}{delta_k^Ty_k})G_k(I-frac{delta_ky_k^T}{delta_k^Ty_k})^T+frac{delta_kdelta_k^T}{delta_k^Ty_k} ]

接下来，进行代码实现：

"""
BFGS拟牛顿法,封装到ml_models.optimization模块,与梯度下降法配合使用
"""


class BFGS(object):
    def __init__(self, x0, g0):
        """

        :param x0: 初始的x
        :param g0: 初始x对应的梯度
        """
        self.x0 = x0
        self.g0 = g0
        # 初始化B0
        self.B0 = np.eye(len(x0))

    def update_quasi_newton_matrix(self, x1, g1):
        """
        更新拟牛顿矩阵
        :param x1:
        :param g1:
        :return:
        """
        # 进行一步更新
        y0 = g1 - self.g0
        delta0 = x1 - self.x0
        self.B0 = self.B0 + y0.dot(y0.T) / y0.T.dot(delta0)[0][0] - self.B0.dot(delta0).dot(delta0.T).dot(self.B0) / 
                                                                    delta0.T.dot(self.B0).dot(delta0)[0][0]

    def adjust_gradient(self, gradient):
        """
        对原始的梯度做调整
        :param gradient:
        :return:
        """
        return np.linalg.pinv(self.B0).dot(gradient)

应用到LogisticRegression

fit函数追加如下的一个判断：

elif self.solver == 'bfgs':
    self.bfgs = None
    self._fit_sgd(x, y)

_fit_sgd函数中，在梯度更新前做如下调整：

if self.solver == 'bfgs':
    if self.bfgs is None:
        self.bfgs = optimization.BFGS(x0=self.w, g0=dw)
    else:
        # 更新一次拟牛顿矩阵
        self.bfgs.update_quasi_newton_matrix(self.w, dw)
    # 调整梯度方向
    dw = self.bfgs.adjust_gradient(dw)

#训练模型
bfgs_model = LogisticRegression(solver='bfgs',epochs=50)
bfgs_model.fit(data,target)

#损失函数对比
plt.plot(range(0, len(sgd_model.losses)), sgd_model.losses,'b')
plt.plot(range(0, len(dfp_model.losses)), dfp_model.losses,'r')
plt.plot(range(0, len(bfgs_model.losses)), bfgs_model.losses,'y')

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x169fd6e7b38>]

可以发现大部分情况下BFGS会比DFS收敛更快

#查看效果
bfgs_model.plot_decision_boundary(data,target)