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剑指Offer - 九度1373 - 整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）
2014-02-05 23:03

题目描述：

亲们！！我们的外国友人YZ这几天总是睡不好,初中奥数里有一个题目一直困扰着他,特此他向JOBDU发来求助信,希望亲们能帮帮他。问题是：求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

输入：

输入有多组数据,每组测试数据为一行。

每一行有两个整数a,b(0<=a,b<=1,000,000,000)。

输出：

对应每个测试案例,输出a和b之间1出现的次数。

样例输入：

0 5
1 13
21 55
31 99

样例输出：

1
6
4
7

题意分析：
　　对于给定的整数a和b，求出从a到b所有整数中，数字‘1’出现的次数。
　　这题显然不会让我们逐个统计每个数字中‘1’出现的次数，太慢了。
　　可以按照位数从低往高进行递推：
　　　　1. 定义所有n位数中(也包括1位、2位、...、n-1位)‘1’总共出现了f[n]次。
　　　　2. f[0] = 0
　　　　3. f[n+1]=10*f[n]+10^n。多出来的10^n表示最高位为‘1’的10^n个数。
　　有了这个f[n]后，可以以log10(n)的复杂度递归求出从1~n中‘1’出现的次数。然后对a、b求解后求出差即可。要注意，a和b指不定谁大，必要的时候交换一下。
　　时间复杂度O(log10(a) + log10(b))。空间复杂度O(log10(max(a,b)))，虽然接近常数，但也不能写成O(1)哦。

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// 201402020057
#include <cstdio>
using namespace std;

long long int sum[11];

long long int solve(long long int x)
{
    long long int b10;
    int idx;

    if (x == 0) {
        return 0;
    } else if (x < 10) {
        return 1;
    }

    b10 = 1;
    idx = 0;
    while (b10 * 10 <= x) {
        b10 *= 10;
        ++idx;
    }
    /*
    printf("b10 = %lld
", b10);
    printf("idx = %d
", idx);
    */
    if (x / b10 > 1) {
        return (x / b10) * sum[idx] + b10 + solve(x % b10);
    } else {
        return sum[idx] + (x % b10 + 1) + solve(x % b10);
    }
}

int main()
{
    int i;
    int x, y;
    long long int b10;

    sum[0] = 0;
    sum[1] = 1;
    b10 = 1;
    for (i = 2; i <= 10; ++i) {
        b10 *= 10;
        sum[i] = 10 * sum[i - 1] + b10;
    }

    /*
    for (i = 0; i <= 10; ++i) {
        printf("sum[%d] = %lld
", i, sum[i]);
    }
    */

    while (scanf("%d%d", &x, &y) == 2) {
        // the problem should've told me what to do if x > y, it's unfair.
        if (x > y) {
            i = x;
            x = y;
            y = i;
        }

        if (x == 0) {
            printf("%lld
", solve(y));
        } else {
            printf("%lld
", solve(y) - solve(x - 1));
        }
    }

    return 0;
}