29-街道最短路径问题(哈曼顿距离)

http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=7

　　　　　　　　　　　　街区最短路径问题

时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：4

 

描述

一个街区有很多住户，街区的街道只能为东西、南北两种方向。

住户只可以沿着街道行走。

各个街道之间的间隔相等。

用(x,y)来表示住户坐在的街区。

例如（4,20），表示用户在东西方向第4个街道，南北方向第20个街道。

现在要建一个邮局，使得各个住户到邮局的距离之和最少。

求现在这个邮局应该建在那个地方使得所有住户距离之和最小；

 

输入

第一行一个整数n<20，表示有n组测试数据，下面是n组数据;
每组第一行一个整数m<20,表示本组有m个住户，下面的m行每行有两个整数0<x,y<100，表示某个用户所在街区的坐标。
m行后是新一组的数据；

输出

每组数据输出到邮局最小的距离和，回车结束；

样例输入

2
3
1 1
2 1
1 2
5
2 9 
5 20
11 9
1 1
1 20

样例输出

2
44

来源

经典题目

上传者

iphxer

思路：注意不一定在某个居民点上，但一定在中间。

题目的意思实际上就是让我们求所有点的x到邮局x之和加上所有点的y到邮局y之和的和。

因为距离只计算x轴和Y轴距离之和而不是斜对角线距离，所以可以把x轴距离和y轴距离分开分析计算最短距离，彼此一定不会影响。

以x轴横向点到其他点最短距离为例：问题等价于在X轴有若干点中选取其中一点，使该点到其他点距离和最小。
这个最短距离点一定是排在中间的那个点，比如有5个点，一定选择第3个点；如果有4个点，一定选择第2个点或者第3个点（可以证明选择这两个点任意一个，结果一定相同）
选择中间点的反证法证明：
假设选择非中间点，并认为该点到其他点的距离和最小，大家可以在X轴上画画图算算，一定还可以找到距离和比最小值还小一段距离的点（距离大小为假设最小点到中间点的距离），这和我们假设距离和最小条件矛盾，所以只能选中间点。

方法一：暴力：

#include <iostream>
#include <algorithm> 
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int main(){
	int n, m;
	int a[23], b[23];
	cin >> n;
	while(n--){
		cin >> m;
		for(int i = 0; i < m; i++){
			cin >> a[i] >> b[i];
		}
		int ans = INF, sum = 0;
//		for(int i = 0; i < m; i++){ //遍历所有用户的点 
//			sum = 0;
//			for(int j = 0; j < m; j++){
//				sum += abs(a[i] - a[j]) + abs(b[i] - b[j]);
//			}
//			ans = min(ans, sum);
//		}
		for(int i = 0; i < 100; i++){ //遍历所有可能区间内的点，上面的代码不能通过，可见不一定落在用户位置上 
			for(int j = 0; j < 100; j++){
				sum = 0;
				for(int k = 0; k < m; k++)
					sum += abs(i - a[k]) + abs(j - b[k]);
				ans = min(ans, sum); 
			}
		}
		cout << ans << endl;
	}	
	return 0; 
} 
/*
3
8
1 1
2 1
3 1
1 2
3 2
1 3
2 3
3 3
*/ 

　　方法二：找中点

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main(){
	int a[22], b[22];
	int t;
	cin >> t;
	while(t--){
		int m; 
		cin >> m;
		for(int i = 0; i < m; i++){
			cin >> a[i] >> b[i];
		}
		sort(a, a + m);
		sort(b, b + m);
		int ax = a[m / 2];  //ax为所有x排好序的中间那个
		int by = b[m / 2];
		int ans = 0;
		for(int i = 0; i < m; i++)
		 	ans += abs(ax - a[i]) + abs(by - b[i]);
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}