方差概念及计算公式

一．方差的概念与计算公式

    例1 两人的5次测验成绩如下：

 X： 50，100，100，60，50     E(X )=72；

 Y： 73， 70， 75，72，70   E(Y )=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

    方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是  

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X )：

　

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里是一个数。推导另一种计算公式

　

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即  

                ，

其中

分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

　

二．方差的性质

    1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

    2． D(CX )=C² D(X ) （常数平方提取）；

    证：

特别地  D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）

    3．若X 、Y 相互独立，则

    证：记

 

则

前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

　

当X、Y 相互独立时，

  ，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

　

三．常用分布的方差

    1．两点分布

    2．二项分布

X ~ B ( n, p )

引入随机变量 X_i （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

，

    3．泊松分布（推导略）

    4．均匀分布

                  

另一计算过程为

    5．指数分布（推导略）

    6．正态分布（推导略）

~

正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

     例2 求上节例2的方差。

     解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。