第三十七个知识点: The Number Field Sieve
数域筛法（The Number Field Sieve ,NFS）是已知的分解算法中最有效率的。它的运行时间取决于被分解的数的大小而不是它的因子的大小。NFS算法的分解基于平方同余理论：给定一个大整数(N)，我们想要找到两个不同的整数(x)和(y)使得(x^2 = y^2 mod N)。然后我们希望(gcd(x-y,N))是一个非平凡的A的因子。
我们大致描述一下NFS的工作原理。算法的第一步是选择两个yi'yuan不可约一元(f_1)和(f_2)分别有度(d_1)和(d_2)。让(m in Z)是两个多项式共同的根(f_1(m) = f_2(m) = 0 mod N)。让( heta_1, heta_2 in C)是分别是(f_1)和(f_2)的复数根，我们构造两个代数域(Z[ heta_i] = Q( heta_i),i = 1,2)。实际上这给出了两个乘法定义的多项式环。然后我们定义同态(phi_i : Z[ heta_i] ightarrow Z_N)，将( heta_i)映射到(m)。NFS算法就是希望能从两个代数环中找出两个平方(gamma_1^2)和(gamma_2^2)，使得(gamma_1^2 = Pi_{(a,b) in S}(a-b* heta_1))和(gamma_2^2 = Pi_{(a,b) in S}(a-b* heta_2))，其中(gamma_1 in Z[ heta_1],gamma_2 in Z[ heta_2])那么(S)是一个互素整数对的有限集合((a,b))。为了找到这样的集合，我们将会对(a-b* heta_i)进行筛选，通过观察(a-b* heta_i)是否是在一些代数基数上平滑的进行筛选。我们多快发现集合(S)是算法效率的关键。接下来我们对(gamma_i^2)进行开方，方法有[1]和[2]。一旦两个平方根被确定了，我们通过同态的性质(phi_1(gamma_1)^2 = phi_2(gamma_2)^2 mod N)，同时期望(gcd(N,phi_1(gamma_1)-phi_2(gamma_2)) eq 1)且(gcd(N,phi_1(gamma_1)-phi_2(gamma_2)) eq N)是非平凡的因数。
[1] Couveignes, Jean-Marc. "Computing a square root for the number field sieve." The development of the number field sieve. Springer Berlin Heidelberg, 1993. 95-102.
[2] Montgomery, Peter L. "Square roots of products of algebraic numbers." Mathematics of Computation (1993): 567-571. APA