第四十六个知识点 在Sigma协议中，正确性，公正性和零知识性意味着什么
Sigma协议
Sigma协议是Alice想要向Bob证明一些东西的协议（Alice知道一些秘密）。他们有下面的一般范式：Alice知道一个秘密，Alice和Bob都分享了一些相同的信息。因此：
- Alice给Bob发送了一个值，这个值叫做承诺(commitment)。
- Bob均匀的随机选择一个挑战(challenge)发送给Alice。
- Alice计算一个回应(response)发送给Bob。
- Bob检查回应，接受或者拒绝Alice的解释。
传说中，如果你把上面的过程画成一个图，这个图看起来像sigma((sigma))，所以这个协议就叫Sigma协议。（原来是这样啊2333）
在密码学中，我希望Sigma协议有下面的属性:
- 正确性，如果每个人都做了他们应该做的，Bob应该接受。
- 公正性，如果Alice撒谎了，Bob可以知道（Alice不能欺骗Bob让他接受错误的结果）。
- 零知识性，如果Alice说真话了，那么Bob不能知道她的秘密输入是什么。
一个更一般的理解
在提供了一个粗略的概述之后，我们现在根据David的[博士论文]https://www.cs.bris.ac.uk/~bernhard/thesis.pdf提供了一个更正式的处理方法。
定义Sigma协议
让(k)是一个域。我们对一个线性函数感兴趣(f:W ightarrow X)，从(k)维空间到另一个空间的映射，其中Alice和Bob都知道一些公共的(x in X)。同时Alice也知道一个秘密(w in W)，使得(f(w) = x)。Alice想要给Bob证明她知道(x)的原像。
如果很多密码学都在椭圆曲线上完成。椭圆曲线是一组(P=(x,y))形式的点和一个特殊的点“在无穷远处”，它是曲线的一个特别的成员。这些点都满足一些方程，最重要的是椭圆线中的加法使得椭圆曲线满足群的条件。每次由一个大素数(p)开始，在基(k = F_p)上计算，同时考虑点(P)在(E_p = E cap mathbb F_p imes mathbb F_p)。
许多椭圆曲线协议从使用点乘法生成密钥对开始：每个人协商一个共同的公共的基点(P)。然后一个人能选择一个密钥(x in F_p)。然后计算相关的公钥(Y = x cdot P)。如果Alice想要在某处注册她的公钥，如果注册员要求她证明她知道相关的密钥，否则她可以将其他人的密钥注册为自己的密钥，这对安全性是有好处的。但是爱丽丝当然不应该把她的秘密钥匙告诉登记员。例如，她可以使用Sigma协议来证明她知道自己声称知道的密钥，而不需要透露。
如果一个人能采取(W = mathbb F_p)作为一个(k)维向量，同时(X = E_p)，点乘固定的基点，特殊的，(f:W ightarrow X)，(w mapsto w cdot P)是一个线性函数。矩阵乘积函数也是如此。假设Alice有一个密钥(x)有一个公钥(Y = x cdot P)，同时有人给她发送了一个ElGamal密文((C,D))。她想要解密，然后证明她已经成功的解密了，一种方式就是计算一个解密(S = x cdot C)。解密就是(D-S)，任何人都能从((C,D))和(S)计算出来。因此ALice想要展示她知道(x)，(Y = x cdot P)和(S = x cdot C)。因此我们设置(W = k,X = E_p imes E_p)，同时(f(x)=(x cdot P,x cdot C))线性函数(f:W ightarrow X.)
Sigma协议(f:W->X)就是下面的结构。Alice知道((x,w) in X imes W)，(f(w) = x)，Bob知道(x)。
1.Alice选择(r in W)随机的。设置(A = f(r))，然后把(A)发送给Bob。这就是承诺(Alice对(r)进行承诺)。
2.Bob选择一个(c in k)随机的，然后发送给Alice。这就是挑战。
3.Alice计算(s = r+c cdot w)。然后发送(s)给Bob。
4.如果(f(s) = A+c cdot x)成立，Bob接受。
让我们来看Sigma协议的性质。
正确性
在刚才的协议中，正确性意味着如果每个人都遵守协议，那么协议按部就班的进行。在Sigma协议的上下文中，这意味着Alice和Bob这么做，Bob最后应该接受状态。这是对的因为(f)是线性的。
公平性
公平性意味着Alice不能证明一个错误的陈述。大多数人都会很迷惑因为这是他们首先知道的是Schnoor协议，证明(y = x cdot P)，因此Alice证明这样的(x)存在。但是这是显而易见的！（Alice也证明了她知道(x)，虽然很有趣，但这是另一个属性了。）让我们看看例子，Alice证明(S)是正确的在公钥(Y)下对(C)的解密。因此，Alice证明(x)存在，使得(Y = x cdot P)和(S = x cdot C)。这里说的就是函数(f)的原像是二维k-向量空间(X)的一维子空间。在我们的表示中，公平性意味着Bob不会接收（除非以可忽略概率）不是(f)原像的(x)。
Sigma协议是公平的。实际上，协议的属性不止于此，它存在的性质叫做特殊公平性。非正式的，考虑Alice已经发送给Bob的承诺(A)。针对哪个(c)（Bob提供的），Alice能找到一个(r)使得Bob接受？如果Alice存在(1/|K|)的可能让Bob接受（(|K|)是指数空间大的）。特殊公平性就是说，如果Alice能让Bob从(|K|)个挑战中找到两个挑战，那么这两个挑战分别是((c,s))和((c^{'},s^{'}))。通过代数计算我们就有(d = (c-c^{'})^{-1},w = d cdot (s-s^{'}))。这样计算出(w)那么只能满足其中一个等式。
零知识性
这个协议是公平的，Bob很高兴。但是Alice仍然需要知道Bob不能从协议中知道(w)的值。实际上Alice要的更多，尽管Alice向Bob证明的秘密，但是Bob不应该能向Charlie证明Bob知道这个秘密。零知识说得更多，Bob从协议中什么也没学到，除了Alice知道(w)。
这个Sigma协议的零知识证明......并不存在！与人们在课本零知识一章中学习Sigma协议后可能会猜测的相反，Sigma协议通常不是零知识，而密码学的初学者在考试时最好记住这一点。(他们满足了一个较弱的要求，称为诚实验证者零知识。)
然而，在零知识的背景下讨论Sigma协议并不是完全武断的:人们可以通过几种方式使它们成为零知识，其中最实用的是使它们成为非交互的。但这是下周的话题……