[leetcode]Distinct Subsequences

题目：

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

思路与实现：

　　题目的意思如下：给定字符串S和T，求S的子串中与T相同的个数。注意子串是在原字符串中删除某些字符得到的字符串。如“ACE”是“ABCDE”的子串，而“AEC”不是，因为“AEC”把原字符串中的顺序改变了。

　　很明显这是一道动态规划的题。首先需要找到递推关系。

　　假设原字符S的长度为i，子字符串T的长度为j，用dp[i-1][j-1]表示S中含T的个数。例如：S="r",T="r",d[1-1][1-1] = d[0][0] = 1;S="ra",T="r",d[1][0] = 1。对于S="rabbbit",T="rabbit"，可以得到一个如下的二维数组：（如下第三个图）

　　先看第一个图，对于dp[0][0],即S="r",T="r",dp[0][0]=1,若第一个字符不等，则dp[0][0]=0;对于dp[0][1],即S="ra",T="r",dp[0][1]=1;同理可以得出第一行都是1。

　　

　　如下图，当i>j时，dp[i][j]=0，因此，对于第一列(i=0)，除了dp[0][0]需要根据S[0]是否等于T[0]来确定之外，其他的dp[0][j]都为0。

　　

　　填充整个二维数组。对于i=j，dp[i][j]不会超过1。

　　

　　从这个二维数组可以看出，可以得出如下的递推关系（注意这个i，j）：

　　　　

　　构造一个二维数组来实现算法：

class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        int ls = S.length();
        int lt = T.length();
        if(lt > ls || ls == 0)return 0;
		
		static int dp[1000][1000] = {0};
        int i,j;
        for(i = 0; i < lt; i++)
            for(j = 0; j < ls; j++)
                dp[i][j] = 0;
         
        if(S[0] == T[0]){
            for(j = 0; j < ls; j++){
                dp[0][j] = 1;
            }
        }
        for(i = 1; i < lt; i++){
            for(j = i; j < ls; j++){
                if(T[i] == S[j])dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1];
                else dp[i][j] = dp[i][j-1];
            }
        }
        int r = dp[lt-1][ls-1];
        return r;
    }
};

　　这样提交之后发现"ccc", "c"这个case通不过，看来对于i=0的情况还要特殊处理。修改之后，如下，但是会超时。所以只能想别的办法。

public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        int ls = S.length();
        int lt = T.length();
        if(lt > ls || ls == 0)return 0;
		
		static int dp[11000][11000] = {0};
        int i,j;
        for(i = 0; i < lt; i++)
            for(j = 0; j < ls; j++)
                dp[i][j] = 0;
         
        if(S[0] == T[0])dp[0][0] = 1;
		for(j = 1; j < ls; j++){
			if(S[j] == T[0])
				dp[0][j] = dp[0][j-1] + 1;
			else
				dp[0][j] = dp[0][j-1];
		}
        
        for(i = 1; i < lt; i++){
            for(j = i; j < ls; j++){
                if(T[i] == S[j])dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1];
                else dp[i][j] = dp[i][j-1];
            }
        }
        int r = dp[lt-1][ls-1];
        return r;
    }

　　下面这样处理比较好，就不需要对i=0的情况做特殊处理，相当于在S和T前加一个空字符。初始化的时候dp[0][j]=1(0<=j<=S.size());dp[i][0]=0(1<=i<=T.size())。

　　

　　下面是把二维数组变成一位数组来处理。因为在上面的实现算法中填充二维数组是一行一行的进行的，所以可以将二维数组“压缩”成一维的。为了让数组更小，我们需要把上面途中的维度给调换过来。在更新数组时方向也改变了，从右往左，如图：

　　

　　递推关系如下：

　　用N[T.length()]表示子序列个数数组。例如在i=1时，N={1，1，0，0，0，0，0},N[1]表示S[0-1]中含T[0-1]子串的个数。再如i=4,N={1,1,1,2,1,0,0},N[3]表示S[0-4]含T[0-3]的子串的个数。不过这个每一行的递推是从从右到左的。初始情况N[0] = 1，N[1-T.size()]=0。

int numDistinct(string S, string T) {
        int ls = S.length();
        int lt = T.length();
        if(lt > ls || ls == 0)return 0;
        int dp[200];
        int i,j;
        dp[0] = 1;
        for( j = 1; j <= lt; j++){
            dp[j] = 0;
        }
        for(i = 1; i <= ls; i++){
            for( j = lt; j >= 1; j--){
                dp[j] += (S[i-1] == T[j-1])*dp[j-1];
            }
        }
        return dp[lt];
    }

　　

参考：http://stackoverflow.com/questions/20459262/distinct-subsequences-dp-explanation

        http://fisherlei.blogspot.com/2012/12/leetcode-distinct-subsequences_19.html

        http://blog.csdn.net/abcbc/article/details/8978146