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  • 时间复杂度


    一、时间复杂度  

    (1)时间频度 

    一个算法执行所耗费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试,只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。 

    (2)时间复杂度 

    在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 

    一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。 

    在各种不同算法中,若算法中语句执行次数为一个常数,则时间复杂度为O(1),另外,在时间频度不相同时,时间复杂度有可能相同,如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同,但时间复杂度相同,都为O(n2)。 

    按数量级递增排列,常见的时间复杂度有: 

    常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 

    线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2),立方阶O(n3),..., 

    k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。 

    2、空间复杂度 

    与时间复杂度类似,空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: 

    S(n)=O(f(n)) 

    我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模

       二、常见算法时间复杂度:

    O(1): 表示算法的运行时间为常量

    O(n): 表示该算法是线性算法

    O(㏒2n): 二分查找算法

    O(n2): 对数组进行排序的各种简单算法,例如直接插入排序的算法。

    O(n3): 做两个n阶矩阵的乘法运算

    O(2n): 求具有n个元素集合的所有子集的算法

    O(n!): 求具有N个元素的全排列的算法

    优<---------------------------<劣

    O(1)<O(㏒2n)<O(n)<O(n2)<O(2n)

    时间复杂度按数量级递增排列依次为:常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n2)、立方阶O(n3)、……k次方阶O(nk)、指数阶O(2n)。

    三、算 法的时间复杂度(计算实例)

    定义:如果一个问题的规模是n,解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n),它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

    当输入量n逐渐加大时,时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

    我们常用大O表示法表示时间复杂性,注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界,由定义如果f(n)=O(n),那显然成立f(n)=O(n^2),它给你一个上界,但并不是上确界,但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

    此外,一个问题本身也有它的复杂性,如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界,那就称这样的算法是最佳算法。

    “大O记法”:在这种描述中使用的基本参数是 n,即问题实例的规模,把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order),比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时,运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

    这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的,但在实践中细节也可能造成差异。例如,一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然,随着n足够大以后,具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

    O(1)

    Temp=i;i=j;j=temp;                    

    以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

    O(n^2)

    2.1. 交换i和j的内容

         sum=0;                 (一次)

         for(i=1;i<=n;i++)       (n次 )

            for(j=1;j<=n;j++) (n^2次 )

             sum++;       (n^2次 )

    解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

    2.2.   

        for (i=1;i<n;i++)

        {

            y=y+1;         ①   

            for (j=0;j<=(2*n);j++)    

               x++;        ②      

        }         

    解: 语句1的频度是n-1

              语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1

              f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2

              该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         

    O(n)      

                                                          

    2.3.

        a=0;

        b=1;                      ①

        for (i=1;i<=n;i++) ②

        {  

           s=a+b;    ③

           b=a;     ④  

           a=s;     ⑤

        }

    解: 语句1的频度:2,        

               语句2的频度: n,        

              语句3的频度: n-1,        

              语句4的频度:n-1,    

              语句5的频度:n-1,                                  

              T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

                                                                                                     

    O(log2n )

    2.4.

         i=1;       ①

        while (i<=n)

           i=i*2; ②

    解: 语句1的频度是1,  

              设语句2的频度是f(n),   则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    

              取最大值f(n)= log2n,

              T(n)=O(log2n )

    O(n^3)

    2.5.

        for(i=0;i<n;i++)

        {  

           for(j=0;j<i;j++)  

           {

              for(k=0;k<j;k++)

                 x=x+2;  

           }

        }

    解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).

                                      

    我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2),但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。

    下面是一些常用的记法:

    访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3),因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n^2。

    指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如,n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是,确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” ),到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况, 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。



    O(1): 表示算法的运行时间为常量 O(n): 表示该算法是线性算法 O(㏒2n): 二分查找算法 O(n2): 对数组进行排序的各种简单算法,例如直接插入排序的算法。 O(n3): 做两个n阶矩阵的乘法运算 O(2n): 求具有n个元素集合的所有子集的算法 O(n!): 求具有N个元素的全排列的算法 优<---------------------------<劣 O(1)

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