9.1练习题7 连续自然数和 题解

题目出处：洛谷 P1147

题目描述

对一个给定的自然数 M ，求出所有的连续的自然数段，这些连续的自然数段中的全部数之和为 M 。
例子：1998+1999+2000+2001+2002=10000 ，所以从 1998 到 2002 的一个自然数段为 M=10000 的一个解。

输入格式

包含一个整数的单独一行给出 M 的值（10 <= M <= 2000000）。

输出格式

每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。

样例输入

10000

样例输出

18 142
297 328
388 412
1998 2002

题目分析

设首项为 (L) ，末项为 (R) ，那么 (sum(L,R)=(L+R)(R-L+1)/2=M)
即 ((L+R)(R-L+1)=2M)
可以把 (2M) 分解成两个数之积，假设分成了两个数 (K1,K2) ，且 (K1<K2) 时，
可以列一个二元一次方程组
(R-L+1=K1)
(L+R=K2) 解得 (L=(K2-K1+1)/2, R=(K1+K2-1)/2)
当 (K1,K2) 一奇一偶时，L,R才有自然数解.
不过有一种特殊情况，就是 (L=R) 的情况，这种情况是不允许的
即 ((K2-K1+1)/2≠(K1+K2-1)/2) ,解得 (K1≠1)
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector< pair<int,int> > vec;
int m;
void solve(int a, int b) {
    if (a % 2 == b % 2) return;
    int L = (a - b + 1) / 2;
    int R = a - L;
    if (L > 0 && L < R) vec.push_back(make_pair(L, R));
}
int main() {
    cin >> m;
    m *= 2;
    for (int i = 1; i * i <= m; i ++) {
        if (m % i == 0) {
            solve(i, m/i);
            if (i < m/i)
                solve(m/i, i);
        }
    }
    sort(vec.begin(), vec.end());
    int sz = vec.size();
    for (int i = 0; i < sz; i ++) {
        cout << vec[i].first << " " << vec[i].second << endl;
    }
    return 0;
}