蓄水池抽样

问题：如何随机从n个对象中选择一个对象，这n个对象是按序排列的，但是在此之前你是不知道n的值的。

思路：如果我们能够知道n的值，那么问题就简单了，只需要randInt(n)得到确切的位置，然后选择出该位置的值即可，实现概率为1/n的抽样。

但现在我们并不知道n的值，这个问题便抽象为蓄水池抽样，即从一个包含n个对象的列表S中随机选取k个对象，n为一个非常大或者不知道的值。通常情况下，n是一个非常大的值，大到无法一次性把所有列表S中的对象都放到内存中。我们这个问题是蓄水池抽样问题的一个特例，即k=1。

解法：我们总是选择第一个对象，以1/2的概率选择第二个，以1/3的概率选择第三个，以此类推，以1/m的概率选择第m个对象。当该过程结束时，每一个对象具有相同的选中概率，即1/n，证明如下。

证明：第m个对象最终被选中的概率P=选择m的概率*其后面所有对象不被选择的概率，即

P = 1/m * (m/(m+1) * (m+1)/(m+2) * (m+2)/(m+3) * ...* (n-1)/n)

   = 1/n

 对应蓄水池抽样问题，可以类似的思路解决。先把读到的前k个对象放入“水库”，对于第k+1个对象开始，以k/(k+1)的概率选择该对象，以k/(k+2)的概率选择第k+2个对象，以此类推，以k/m的概率选择第m个对象（m>k）。如果m被选中，则随机替换水库中的一个对象。最终每个对象被选中的概率均为k/n，证明如下。

证明：第m个对象被选中的概率=选择m的概率*（其后元素不被选择的概率+其后元素被选择的概率*不替换第m个对象的概率），即

P = k/m * (((m+1-k)/(m+1) + k/(m+1) * (k-1)/k ) * ((m+2-k)/(m+2) + k/(m+2) * (k-1)/k ) * ... * ((n-k)/n + k/n*(k-1)/k))

   = k/n

参考：http://blog.csdn.net/huagong_adu/article/details/7619665

题目描述：

Given a singly linked list, return a random node's value from the linked list. Each node must have the same probability of being chosen.

Follow up:
What if the linked list is extremely large and its length is unknown to you? Could you solve this efficiently without using extra space?

Example:

// Init a singly linked list [1,2,3].
ListNode head = new ListNode(1);
head.next = new ListNode(2);
head.next.next = new ListNode(3);
Solution solution = new Solution(head);

// getRandom() should return either 1, 2, or 3 randomly. Each element should have equal probability of returning.
solution.getRandom();

解题思路：

蓄水池抽样

代码描述：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * public class ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode next;
 *     ListNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
public class Solution {

	ListNode head = null;
	Random random = null;

    /** @param head The linked list's head.
        Note that the head is guaranteed to be not null, so it contains at least one node. */
    public Solution(ListNode head) {
    	this.head = head;
    	this.random = new Random();
    }
    
    /** Returns a random node's value. */
    public int getRandom() {
    	ListNode current = head;
    	int res = 0;
        for(int i = 1; current != null; i++){
        	if(random.nextInt(i) == 0)
        		res = current.val;
        	current = current.next;
        }
        return res;
    }
}

/**
 * Your Solution object will be instantiated and called as such:
 * Solution obj = new Solution(head);
 * int param_1 = obj.getRandom();
 */