背景：字符串匹配问题是最典型的模式匹配问题，是许多文本编辑、数据检索和符号操作问题的重要组成部分，同时在信号处理领域，计算生物学中的序列分析和基因比对，以及OCR（Optical Character Recognition）纠错等领域也都有重要应用。字符串匹配问题的求解算反总体上包括：动态规划、自动机方法、位并行运算、过滤算法。
问题概述：字符串的匹配问题一直被视为计算机科学的基本问题之一。早期的研究多集中于精确匹配领域，1970年，S.S.Cook从理论上证明单模式匹配问题可以在O(m+n)时间内解决，为字符串匹配算法的发展奠定了理论基础；D.E.Knuth、V.R.Pratt和T.H.Moms仿照Cook的证明构造了KMP算法；R.S.Boyer和J.S.Moore设计了BM算法；以及利用位并行方法设计的Shift-And和Shift-Or算法。以及基于子串搜索的Backward Dawg Matching(BDM)、Backward Nondeterministic Dawg Matching(BNDM)利用自动机的算法和利用Factor Oracle的Backward Oracle Matching(BOM)算法。
所谓单模式匹配问题，就是在一个大文本（text）T=t1t2...tn 中找到某个特定的模式串（pattern）P=p1p2p3...pm出现的位置，文本长度为n，模式串长度为m，其中T和P都是在有限字母表（alphabet）∑的字符序列，大小为δ。设x、y、z为模式串，则x为xy的前缀，x为yx的后缀，x为yxz的一个因子或子串。如果存在两个字u和v使得w=uz=zv，则z是w的边界(border)，是w的前缀也是它的后缀。注意在这种情况下|u|=|v|，并且它们是w的一个period。
单模式字符串匹配算法
单模式匹配算法按搜索方式可以分为基于前缀搜索，基于后缀搜索和基于子串搜索三种方式。
基于前缀搜索的代表算法主要有KMP，Shift-And和Shift-Or，从前向后判断字符与pattern的匹配情况，根据已匹配成功的信息确定最大的pattern后移位数。基于后缀搜索的代表算法主要是BM以及对BM改进的Horspool和Sunday算法，主要的思想是在匹配时从后向前，先匹配pattern的最后一个字符，这样匹配失败后很容易扩大后移位数。基于子串搜索的算法主要是利用自动机的思想，主要包括BDM，BNDM和BOM。
BF算法：BF算法是出现最早的一种算法，从左到右移动pattern依次比较，一次移动一个字符距离。时间复杂度为O(mn)，辅助空间为常数。
KMP算法：是一种对BF算法的改进，依然是从左向右移动，利用已匹配成功的信息，即前缀模式（模式中不同部分存在的相同子串）可以使模式向后推进若干字符位置，而不只是一个字符，避免了重复比较，同时也实现了文本指针的无回溯。
预处理阶段时间、空间复杂度均为O(m)，搜索阶段时间复杂度为O(n+m)，与字符集大小无关。
Shift-And算法
Shift-And算法和Shift-Or算法是维护一个字符串的集合，集合中的每个字符串既是模式串p的前缀，同时也是已读入文本的后缀。每读入一个新的文本字符，该算法即用位并行的方法更新该集合。该集合用一个位掩码D=dmdm-1..d1来表示。
D的第j位被置为1时，称第j位为活动的，当且仅当p1…pj 是 t1…ti 的某个后缀，当D[m]=1时，就认为P已经于text有一个成功匹配。
当读入下一个字符 ti+1，需要计算新的集合（位掩码） D'。当且仅当D[j]=1并且ti+1等于 pj+1时D'[j+1]=1。这是因为D[j]=1时有 p1…pj 是 t1…ti 的一个后缀，而当ti+1 等于 pj+1可推出p1…pj +1是 t1…ti+1 的一个后缀.这个集合可通过位运算在常数时间内更新。
算法首先建立一个数组B，记录字母表中每个字符的位掩码bm..b1。数组长度为text串所属字符集长度（例如A-Z的话数组B的长度为26），如果P的第j位等于c则将B[c]中第j位置位1。
首先置D=0m，对于每个新读入的文本字符ti+1，可以用公式
进行更新。
因为要预处理计算B，如果字符集很大的话，并不划算。如果m很长的话（大于机器字长），也很不方便。所以这种算法更适用于字符集较小，模式串小于机器字长的情况。当模式串的长度不超过几个机器字长时，公式的操作都能在常数时间内完成，这时Shift-And算法的时间复杂度为O(n)。
Shift-Or算法是Shift-And的一种技巧性的实现。通过对位取反去掉公式中的掩码0m-11，加速对D'的计算。该算法使用反码来表示B中的位掩码和位向量D，因为左移操作会自动在D'右端引入0，于是空字符串就被纳入D'的计算中。Shift-Or算法D'对应的更新公式为：
BM算法： BM算法是snort的采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。
坏字符规则（Bad Character）：
在BM算法从右向左扫描的过程中，若发现某个字符x不匹配，则按如下两种情况讨论：
如果字符x在模式P中没有出现，那么从字符x开始的m个文本显然不可能与P匹配成功，直接全部跳过该区域即可。
如果x在模式P中出现，则以该字符进行对齐。
用数学公式表示，设Skip(x)为P右移的距离，m为模式串P的长度，max(x)为字符x在P中最右位置。
好后缀规则（Good Suffix）：
若发现某个字符不匹配的同时，已有部分字符匹配成功，则按如下两种情况讨论：
如果在P中位置t处已匹配部分P'在P中的某位置t'也出现，且位置t'的前一个字符与位置t的前一个字符不相同，则将P右移使t'对应t方才的所在的位置。
ii. 如果在P中任何位置已匹配部分P'都没有再出现，则找到与P'的后缀P''相同的P的最长前缀x，向右移动P，使x对应方才P''后缀所在的位置。
用数学公式表示，设Shift(j)为P右移的距离，m为模式串P的长度，j 为当前所匹配的字符位置，s为t'与t的距离（以上情况i）或者x与P''的距离（以上情况ii）。
在BM算法匹配的过程中，取Skip(x)与Shift(j)中的较大者作为跳跃的距离。
BM算法预处理时间复杂度为O(m+s)，空间复杂度为O(s)，s是与P, T相关的有限字符集长度，搜索阶段最好情况下的时间复杂度为O(n/m)，最坏情况下时间复杂度为O(m*n)。
BDM算法与BNDM算法
BDM（Backward Dawg Matching）算法使用后缀自动机搜索子串。后缀自动机决定字符串U是否为模式串P的子串，有很多索引结构都可以在O(U)的时间内确定U是否为P的子串。
总体来讲后缀自动机可以在O（|U|）时间内确定个字符串U是否为字符P的子串，可以识别模式串的所有后缀。从初始状态到某个终止状态的路径上字符组成的字符串是模式串P的一个后缀，模式串P的对应的后缀自动机可以O(m)内构建完成。
算法过程：1. 首先构建模式串P的反转Prv=PmPm-1....P1对应的后缀自动机，反转的目的是为了得出P的前缀自动机。
2. 算法使用后缀自动机在搜索窗口中从后向前搜索模式串的子串。搜索过程如果到达了终止状态，并且对应的不是整个模式中，则它在窗口中的位置存在变量last中，此时，可以说找到了当前识别的P的最长前缀，因为是P的反转的最长后缀。该前缀从last开始到窗口尾处结束。
３. 搜索过程以下２种可能的方式结束：
1. 在识别一个子串时失败了，即读入一个字符σ，在P的反转后缀自动机的当前状态没有σ转移，这时将窗口向右移动，使得它的起始位置与last对齐
2. 抵达了窗口的起始位置，意味着整个模式串P被成功匹配，报告一个成功匹配，并像1一样移动窗口。
BDM算法的最坏时间复杂度是O(mn)。但如果在文本中各个字符相互独立并且等概率出现的情况下，该算法能够达到最优的平均时间复杂度O()。
BNDM（Backward Nondeterministic Dawg Matching）算法的搜索方法与BDM算法相同，但它使用了位并行来识别子串。与原始的BDM相比，BNDM更简单，内存用量更少，具有更好的引用局部性，并且易于扩展到更复杂的模式串的情形。
在当前搜索窗口内，设已读入的字符串为u，BNDM算法维护一个集合，记录u在prv中的所有出现位置。同Shift-And算法一样，该集合可以用一个位向量D来表示。如果子串pj…pj+|u|-1等于u，那么D的第m-j+1位为1，表示p的位置j是一个活动状态。如果模式串的长度不超过机器字长w，那么该集合可以用一个机器字D=dm…d1表示。
当读入一个新的文本字符σ时，要从D更行到D'。D'的一个活动状态j对应于在模式串中的一个起始位置，即u出现在模式串的j+1位，在模式串的j位出现。
同Shift-And算法一样，BNDM算法预先计算一张表B，用位掩码记录每一个字符在p中出现的位置。D的更新公式：。
BNDM与BDM使用的搜索方法是一样的，区别在于前者用位并行技术进行子串搜索，后者使用后缀自动机。每当比特位dm是活动的时候，窗口中的当前位置就用变量last保存。主要代码如下：
int BNDMMatch(byte* pSrc, int nSrcSize, byte* pSubSrc, int nSubSrcSize){
int B[256] = {0};
for(int i = 0; i < nSubSrcSize; i++){
skip[pSubSrc[i]] |= 1 << (nSubSrcSize - 1 - i);
}
int nPos = 0;
while(nPos <= nSrcSize - nSubSrcSize) {
int j = nSubSrcSize -1;
int last = nSubSrcSize;
unsigned int D = -1;
while(D) {
D &= skip[pSrc[nPos + j]];
if (D & (1<<(nSubSrcSize-1))) {
if (j > 0) {
last = j;
}
else {
return nPos;
}
}
j--;
D <<= 1;
}
nPos += last;
}
return -1;
}
BNDM和BDM算法的时间复杂度相同，最坏时间复杂度O(mn)，也都具有最优的平均时间复杂度O()。
BOM算法
当字符串长度大于机器字长w时，虽然BDM算法可以实现，但是后缀自动机复杂的构造过程使得BDM算法并不那么实用。
单模式字符串匹配算法：
|
搜索方向 |
特点 |
代表算法 |
方法 |
搜索方式 |
备注 |
|
前缀搜索 |
正向搜索，搜索窗口中文本和模式串的最长公共前缀 |
KMP算法 |
确定性自动机 |
逐个读入字符 |
|
|
Shift-And |
位并行，非确定行自动机 |
||||
|
后缀搜索 |
后向搜索，搜索窗口中文本和模式串的最长公共后缀，可以跳过一些文本字符，难点在于如何安全地移动窗口 |
BM |
预先计算三个函数用于确定安全跳跃距离 |
滑动窗口 |
|
|
Horspool |
改进了BM中的函数，能产生更大的跳跃距离，特别适合较大的字母表 |
||||
|
子串搜索 |
后向搜索，判断窗口中文本的后最是否是模式串的子串 |
BDM |
后缀自动机 |
搜索窗口中文本的最长后缀 |
|
|
BNDM |
位并行 |
||||
|
BOM |
Factor Oracle自动机，适用于较长的模式 |